a) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \[{\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}\]

b) Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số \[0;1;2;3;4;5;6;7\]. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5.

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: \[{\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \]

b) Đếm số phần tử của không gian mẫu: Số các số có 4 chữ số lập được từ các chữ số đã cho.

Đếm số các số chia hết cho 5 trong tập hợp trên và suy ra xác suất.

Cách giải:

a) Ta có: \[{\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{\left( {2{x^2}} \right)}^{5 - k}}.{{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)}^k}} \]

\[ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{.2}^{5 - k}}.{{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{.2}^{5 - k}}.{x^{10 - 2k - 3k}}} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{.2}^{5 - k}}.{x^{10 - 5k}}} \]

Số hạng không chứa x ứng với \[10 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 2\] nên hệ số \[C_5^2{.2^{5 - 2}} = 80\]

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 80.

b) Số cách chọn 4 trong 8 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có phân biệt thứ tự là \[A_8^4\]

Nếu chữ số 0 ở đầu thì có \[A_7^3\] số thỏa mãn.

Do đó số các số có 4 chữ số phân biệt lập được là \[A_8^4 - A_7^3\].

Gọi số có 4 chữ số chia hết cho 5 là \[\overline {abcd} \], với \[a,b,c,d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} \right\}\]

Vì \[\overline {abcd} \vdots 5\] nên \[d = 0\] hoặc \[d = 5\]

+) Nếu \[d = 0\] thì \[a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\] có 7 cách chọn.

\[b \ne a,d \Rightarrow \] b có 6 cách chọn.

\[c \ne a,b,d\] nên có 5 cách chọn.

Có \[7.6.5 = 210\] số tự nhiên có bốn chữ số, tận cùng bằng 0 được lập từ các chữ số \[0;1;2;3;4;5;6;7\]

+) Nếu \[d = 5\] thì \[a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\] có 6 cách chọn.

\[b \ne a,d \Rightarrow \] b có 6 cách chọn.

\[c \ne a,b,d\] nên có 5 cách chọn.

Có \[6.6.5 = 180\] số tự nhiên có bốn chữ số, tận cùng bằng 5 được lập từ các chữ số \[0;1;2;3;4;5;6;7\].

Do đó có \[210 + 180 = 390\] số có bốn chữ số chia hết cho 5 được lập từ các chữ số \[0;1;2;3;4;5;6;7\].

Vậy xác suất là \[P = \frac{{390}}{{A_8^4 - A_7^3}} = \frac{{390}}{{1470}} = \frac{{13}}{{49}}\].