1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \[{\left( {2{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{12}},x \ne 0\].
2) Chứng minh rằng \[{7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + {3^2}{.7^{15}}.C_{17}^2 + ... + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17} = {10^{17}}\].
Giải bởi Vietjack
Phương pháp
1) Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \[{T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\].
2) Sử dụng khai triển \[{\left( {a + b} \right)^n}\] và chọn a, b, n là các số thích hợp, từ đó quy ra tổng.
Cách giải
1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \[{\left( {2{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{12}},x \ne 0\].
Ta có: \[{T_{k + 1}} = C_{12}^k{\left( {2{x^3}} \right)^{12 - k}}.{\left( { - \frac{1}{x}} \right)^k} = C_{12}^k{.2^{12 - k}}.{x^{3\left( {12 - k} \right)}}.\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{x^k}}} = C_{12}^k.{\left( { - 1} \right)^k}{.2^{12 - k}}.{x^{36 - 3k - k}} = C_{12}^k.{\left( { - 1} \right)^k}{.2^{12 - k}}.{x^{36 - 4k}}\].
Số hạng không chứa x nếu \[36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9\].
Vậy số hạng không chứa x là \[C_{12}^9.{\left( { - 1} \right)^9}{.2^{12 - 9}} = - 1760\].
2) Chứng minh rằng \[{7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + {3^2}{.7^{15}}.C_{17}^2 + ... + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17} = {10^{17}}\].
Số hạng tổng quát \[C_{17}^k{.7^{17 - k}}{.3^k}\], chọn \[n = 17,a = 7,b = 3\].
Xét tổng: \[{\left( {7 + 3} \right)^{17}} = C_{17}^0{.7^{17 - 0}}{.3^0} + C_{17}^1{.7^{17 - 1}}{.3^1} + ... + C_{17}^{16}{.7^{17 - 16}}{.3^{16}} + C_{17}^{17}{.7^0}{.3^{17}}\].
Do đó \[{10^{17}} = {7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + ... + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17}\] (đpcm).
1) Một hộp chứa 3 quả cầu đen và 2 quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả. Tính xác suất để lấy được hai quả cầu khác màu.
2) Hai người tham gia một trò chơi ném bóng vào rổ, mỗi người ném vào rổ của mình 1 quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng rổ của người thứ nhất, người thứ hai lần lượt là \[\frac{1}{5}\] và \[\frac{2}{7}\] và hai người ném một cách độc lập với nhau.
a) Tính xác suất để hai người cùng ném bóng trúng rổ.
b) Tính xác suất để có ít nhất một người ném không trúng rổ.
Giải các phương trình sau:
1) \[\cos 2x = 3\sin x + 1\]. 2) \[\cos 3x + \cos x - \cos 2x = 0\].
