Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); tam giác ABC vuông tại A, biết \(BC = 3a;\,\,\,AB = a\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
D. \({V_{S.ABC}} = \frac{{2{a^3}}}{9}\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án A
Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right);\,\left( \beta \right)\)
- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)
- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \)
- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),\,\,\,b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)
- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {\alpha ;\beta } \right):\,\,\,\left( {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)} \right) = \left( {a;b} \right)\)
Cách giải:
Kẻ \(AH \bot BC,\,\,H \subset BC\)
Ta có: \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\)
\(BC \bot AH,\,\,\,BC \bot SA\,\,do\,\,SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SH;AH} \right) = SHA = {45^0}\)
\(\Delta ABC\) vuông tại A \( \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {a^2}} = 2\sqrt 2 a\) và
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 a.a = \sqrt 2 {a^2}\)
\(AH \bot BC \Rightarrow AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \frac{{2\sqrt 2 a.a}}{{3a}} = \frac{{2\sqrt 2 a}}{3}\)
\(SAH\) vuông tại A, \(SHA = {45^0} \Rightarrow \Delta SAH\) vuông cân tại A \( \Rightarrow SA = AH = \frac{{2\sqrt 2 a}}{3}\)
Thể tích khối chóp S.ABC: \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ & ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{2\sqrt 2 a}}{3}.\sqrt 2 {a^2} = \frac{4}{9}{a^3}\)
Giả sử A và B là các giao điểm của đường cong \(y = {x^3} - 3x + 2\) và trục hoành. Tính độ dài đoạn thẳng AB:
Cho hình chóp S.ABC có \(SA = a,\,\,SB = b,\,\,SC = c\) và \(ASB = BSC = CSA = {60^0}\). Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Giá trị nhỏ nhất của số thực m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - mx - m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là:
Cho bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}f\left( x \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}g\left( x \right)\). Khi đó, bất phương trình tương đương:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{mx - 1}}{{2x + m}}\) trên đoạn \(\left[ {3;5} \right]\) bằng 2 khi và chỉ khi:
Điều kiện cần và đủ của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + mx - 5\) có cực trị là:
Gọi \({y_1},\,{y_2}\) lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \(y = - {x^4} + 10{x^2} - 9\) . Khi đó, \(\left| {{y_1} - {y_2}} \right|\) bằng:
Cho hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Tìm m sao cho \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt đường thẳng \(d:y = x + 1\) tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,{x_2},\,{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 101\)
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\frac{{x + 3}}{{2 - x}}\) là:
Phương trình \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} \({x_1},\,{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}\), chọn phát biểu đúng.
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {5x - 3} \right) > - 2\), có nghiệm là:
