Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = m{x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {3m - 1} \right)x + 2m - 3\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là

Lời giải

Chọn B

Trường hợp 1: Khi \(m = 0\) thì hàm số trở thành \(y = - 3x - 3,\) thỏa mãn nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

Trường hợp 2: Khi \(m \ne 0\) thì hàm số là hàm bậc ba.

Ta có \(y' = 3m{x^2} - 6mx + 3\left( {2m - 1} \right)\)

Điều kiện để một hàm bậc ba nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{{\rm{\Delta }}{'_{\left( {y'} \right)}} \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{9{m^2} - 3m.3\left( {2m - 1} \right) \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{ - 9{m^2} + 9m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{m \ge 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m < 0\)

Kết hợp 2 trường hợp ta được tất cả các giá trị cần tìm của \(m\) là \(m \le 0.\)