Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax là tia tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB), từ điểm C trên nửa đường tròn (C khác A, B) vẽ tiếp tuyến CM cắt Ax tại M, hạ CH vuông góc với AB, MB cắt (O) tại Q và cắt CH tại N.
a) Chứng minh MA2 = MQ.MB.
b) MO cắt AC tại I. Chứng minh tứ giác AIQM nội tiếp.
c) Chứng minh: IN vuông góc CH.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Do Q thuộc đường tròn tâm O đường kính AB nên \(\widehat {AQB} = 90^\circ \).
Xét DAMB vuông tại A có AQ là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: MA2 = MQ.MB.
b) Do AM, CM là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M nên MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra M nằm trên đường trung trực của AC.
Lại có OA = OC (cùng bằng bán kính đường tròn (O)) nên O cũng nằm trên đường trung trực của AC.
Do đó OM là đường trung trực của AC nên OM ⊥ AC
Xét tứ giác AIQM có: \(\widehat {AIM} = 90^\circ \) và \(\widehat {AQM} = 90^\circ \)
Mà hai góc này cùng nhìn cạnh AM dưới một góc bằng 90°
Do đó tứ giác AIQM nội tiếp đường tròn.
c) Tứ giác AIQM nội tiếp nên \(\widehat {MAI} + \widehat {MQI} = 180^\circ \)
Lại có \(\widehat {NQI} + \widehat {MQI} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Do đó \(\widehat {MAI} = \widehat {NQI}\).
Ta có: AM ⊥ AB, CH ⊥ AB nên AM // CH
Do đó \(\widehat {MAI} = \widehat {MAC} = \widehat {ACH}\) (hai góc so le trong)
Suy ra \(\widehat {NQI} = \widehat {ACH}\) hay \(\widehat {NQI} = \widehat {NCI}\)
Mà hai góc này cùng nhìn cạnh IN dưới một góc bằng nhau
Do đó tứ giác NIQC nội tiếp
Suy ra \(\widehat {CIN} = \widehat {CQN}\) (hai góc nội tiếp chắn cung CN)
Lại có \(\widehat {CQN} = \widehat {CQB} = \widehat {CAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB của đường tròn (O)).
Do đó \(\widehat {CIN} = \widehat {CAB}\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IN // AB
Do CH ⊥ AB và IN // AB nên IN ⊥ CH.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Vẽ EF vuông góc với AB tại F.
a) Chứng minh rằng DE //AB và tứ giác ADEF là hình chữ nhật.
b) Trên tia đối của tia DE lấy điểm G sao cho DG = DE. Chứng minh tứ giác AECG là hình thoi.
c) Gọi O là giao điểm của AE và DF. Chứng minh rằng ba điểm B, O, G thẳng hàng.
d) Vẽ EH vuông góc với AG tại H. Chứng minh rằng tam giác DHF vuông.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC.
b) Gọi M là điểm nằm ở giữa B và C. Kẻ MN vuông với AB, MP vuông góc với AC (N thuộc AB, P thuộc AC ) tứ giác ANMP là hình gì? Vì sao?
c) Tính số đo góc NHP?
d) Tìm vị trí M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất?
Cho tam giác ABC vuông tại A có . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
a) Tính góc .NMC.
b) Gọi E là điểm đối xứng với M qua N. Chứng minh tứ giác AECM là hình thoi.
c) Lấy D là điểm đối xứng với E qua BC. Tứ giác ACDB là hình gì? Tại sao?
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình vuông?
Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD.
b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. Chứng minh: AF.AB = KE.EB.
c) EF cắt CB tại I. Chứng minh , suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.
d) EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N. Chứng minh: M, I, N thẳng hàng.
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn \(\left( {O;\frac{1}{2}BC} \right)\) cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E.
a) Chứng minh rằng: CD vuông góc với AB, BE vuông góc với AC.
b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AK vuông góc với BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Từ M hạ MP vuông góc với AB (P ∈ AB), MQ vuông góc với AC (Q ∈ AC). Gọi R là điểm đối xứng M qua P.
a) Tứ giác AQMP là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác AMBR là hình gì? Vì sao?
c) Để tứ giác AQMP là hình vuông thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì?
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ ba của nửa đường tròn (O), cắt Ax ở C và cắt By ở D. Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\).
b) MN ⊥ AB.
c) \[\widehat {COD} = 90^\circ \].
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
