Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A. Lấy điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) tại C (C khác A). Tiếp tuyến của đường tròn tại B cắt AC tại D và cắt MC tại F. Nối OM cắt AC tại E
a) Chứng minh tứ giác OBDE nội tiếp.
b) Chứng minh AC. AD = 4R2.
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMOF.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét (O) có MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
Suy ra MA = MC
Hay M thuộc trung trực của AC (1)
Vì A, D cùng thuộc (O) nên OA = OD
Suy ra O thuộc đường trung trực của AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra MO ⊥ AC
Suy ra \(\widehat {OEC} = 90^\circ \)
Vì BD là tiếp tuyến của (O) nên BD ⊥ BO
Suy ra \(\widehat {OB{\rm{D}}} = 90^\circ \)
Xét tứ giác OBDE có \(\widehat {OED} + \widehat {OBD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra tứ giác OBDE nội tiếp
Vậy tứ giác OBDE nội tiếp
b) Vì tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB
Nên tam giác ABC vuông tại C
Suy ra AC ⊥ BC
Xét tam giác ABD vuông tại B có BC ⊥ AD
Suy ra AC. AD = AB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà AB = 2R
Suy ra AC . AD = 4R2
Vậy AC . AD = 4R2
c) Xét (O) có MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
Suy ra OM là phân giác của góc AOC, MO là phân giác của góc AMC
Do đó \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\), \(\widehat {OMA} = \widehat {CMO}\)
Xét (O) có FC, FB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại F
Suy ra OF là phân giác của góc BOC
Do đó \(\widehat {COF} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\)
Khi đó :
Suy ra tam giác MFO vuông tại O
Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF là trung điểm I của MF
Xét tam giác MFO vuông tại O có OI là trung tuyến
Suy ra IO = IM = IF
Do đó tam giác IMO cân tại I
Suy ra \(\widehat {I{\rm{O}}M} = \widehat {IM{\rm{O}}}\)
Mà \(\widehat {AMO} = \widehat {IM{\rm{O}}}\) (chứng minh câu trên)
Suy ra \(\widehat {AMO} = \widehat {I{\rm{OM}}}\)
Vì tam giác AMO vuông tại A nên \(\widehat {AMO} + \widehat {{\rm{AOM}}} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Hay \(\widehat {MOI} + \widehat {{\rm{AOM}}} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {AOI} = 90^\circ \)
Do đó AO ⊥ OI
Xét (I; IO) có AB ⊥ OI
Suy ra AB là tiếp tuyến
Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF.
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.
c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AF // CE
c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 6 cm , \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) . Vẽ đường tròn (O) đường kính AC cắt BC tại D, dây DE vuông góc với AC tại H
a) Tính BC
b) Chứng minh tam giác CDE đều
c) Qua B vẽ đường thẳng tiếp xúc với (O) tại M. Chứng minh tam giác BDM đồng dạng với tam giác BMC
d) Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên EC và I là trung điểm của HK. Chứng minh DK vuông CI
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng AB. Trên MI kéo dài, lấy một điểm N sao cho IN = MI.
a) Chứng minh \(\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MB} \).
b) Tìm các điểm D, C sao cho\(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NI} = \overrightarrow {N{\rm{D}}} ,\overrightarrow {NM} - \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NC} \).
Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh
a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)
b) AH . IC = HI . HC = HO . BC
c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI
d) AO vuông góc BI.
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ điểm C thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm). Gọi giao
điểm của CO và AD là I.
a) Chứng minh: CO ⊥ AD.
b) Gọi giao điểm của CB và đường tròn (O) là E (E ≠ B). Chứng minh CE . CB = CI . CO.
c) Chứng minh: Trực tâm H của tam giác CAD di động trên đường cố định khi
điểm C di chuyển trên Ax.
Cho tam giác ABC có \(\widehat A\) > 90°, kẻ AD vuông góc với AB, AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia AB và AC), kẻ AE vuông góc với AC, AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB, AC). Kẻ AH vuông góc với BC, AH kéo dài cắt DE tại M.
a) Chứng minh hai tam giác ABE; ADC bằng nhau và BE vuông góc với DC.
b) Từ D kẻ DP vuông góc với AM, từ E kẻ EQ vuông góc với AM. Chứng minh
DP = AH.
c) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng DE
d) Giả sử EQ = 3 cm; AQ = 4 cm. Từ Q hạ QI vuông góc với AE. Tính độ dài đoạn
thẳng AI; IE.
Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thỏa mãn các đẳng thức sau:
a) \(2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
b) \(2\overrightarrow {J{\rm{A}}} + \overrightarrow {JC} - \overrightarrow {JB} = \overrightarrow {CA} \)
c) \(\overrightarrow {{\rm{KA}}} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = 2\overrightarrow {BC} \)
d) \(3\overrightarrow {{\rm{LA}}} + 2\overrightarrow {LC} - \overrightarrow {LB} = \overrightarrow 0 \)
Cho hai đường thẳng (d1): y = 2x + 5 và (d2): y = (m + 1)x + m – 1
Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm của tung độ bằng 1.
