Thứ năm, 30/05/2024
IMG-LOGO

Câu hỏi:

03/07/2023 61

Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, d là đường thẳng qua A và song song BC, khi M di động trên d thì giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là:

A. a\(\sqrt 3 \)

Đáp án chính xác

B. 2a\(\sqrt 3 \)

C. \(\frac{{2{\rm{a}}\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{3}\).

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Lời giải

Đáp án đúng là A

Media VietJack

Gọi K là trung điểm của AC

Vì tam giác ABC đều nên BK là tia phân giác của góc ABC, \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ABK} = 30^\circ \)

Xét tam giác ABC đều cạnh 2a có K là trung điểm của AC

Nên BK là đường cao, AB = 2a, AK = a

Suy ra tam giác ABK vuông tại K

Do đó AB2 = BK2 + AK2

Hay (2a)2 = BK2 + a2

Suy ra BK = a\(\sqrt 3 \)

Xét điểm I sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} ) - (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {IA} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \frac{{\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BK} \)

Suy ra I là đỉnh thứ 4 của hình bình hành AIBK

Do đó AI // BK, AI = BK

Suy ra \(\widehat {IAB} = \widehat {ABK}\) (hai góc so le trong)

Mà \(\widehat {ABK} = 30^\circ \) nên \(\widehat {IAB} = 30^\circ \)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) = \(\left| {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} ) + 2(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} ) - (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )} \right|\)

= \(\left| {2\overrightarrow {MI} + (\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} )} \right|\) = \(\left| {2\overrightarrow {MI} } \right|\) = 2MI

Vì M d nên \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi MI d

Khi đó \(\widehat {MAI} = \widehat {MAB} - \widehat {IAB} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \)

Xét tam giác AMI vuông tại M có

IM = IA. sin\(\widehat {MAI}\)= BK. sin 30° = \(\frac{{BK}}{2}\)= \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) = 2IM = \(a\sqrt 3 \)

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, I là trung điểm của AB. Lấy K đối xứng với B qua H. Qua A dựng đường thẳng song song với BC cắt HI tại D
a) AKHD là hình gì?
b) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật
c) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để AHBD là hình vuông
d) M là điểm đối xứng với A qua H. Chứng minh AK vuông góc với CM.

Xem đáp án » 03/07/2023 264

Câu 2:

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D.

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh MC . MD = MA2. Từ đó suy ra MC . MD = MH . MO.

c) Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).

Xem đáp án » 03/07/2023 195

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AH. Đường vuông góc với BC tại C cắt đường thẳng BI tại D. Chứng minh DA = DC

Xem đáp án » 03/07/2023 193

Câu 4:

Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AF // CE

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.

Xem đáp án » 03/07/2023 119

Câu 5:

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A. Lấy điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) tại C (C khác A). Tiếp tuyến của đường tròn tại B cắt AC tại D và cắt MC tại F. Nối OM cắt AC tại E

a) Chứng minh tứ giác OBDE nội tiếp.

b) Chứng minh AC. AD = 4R2.

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMOF.

Xem đáp án » 03/07/2023 115

Câu 6:

Một chiếc cổng hình Parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ ở hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng Parabol là 4 m  còn kích thước cửa ở giữa là 3 m × 4 m . Hãy tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.
Media VietJack

Xem đáp án » 03/07/2023 110

Câu 7:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {{\rm{EF}}} = \overrightarrow {FB} \)

Xem đáp án » 03/07/2023 105

Câu 8:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 6 cm , \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) . Vẽ đường tròn (O) đường kính AC cắt BC tại D, dây DE vuông góc với AC tại H

a) Tính BC 

b) Chứng minh tam giác CDE đều

c) Qua B vẽ đường thẳng tiếp xúc với (O) tại M. Chứng minh tam giác BDM đồng dạng với tam giác BMC

d) Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên EC và I là trung điểm của HK. Chứng minh DK vuông CI

Xem đáp án » 03/07/2023 98

Câu 9:

Một chiếc cổng hình Parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ ở hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng Parabol là 4 m  còn kích thước cửa ở giữa là 3 m × 6 m . Hãy tính khoảng cách giữa 2 điểm A và B.
Media VietJack

Xem đáp án » 03/07/2023 96

Câu 10:

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng AB. Trên MI kéo dài, lấy một điểm N sao cho IN = MI.

a) Chứng minh \(\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MB} \).

b) Tìm các điểm D, C sao cho\(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NI} = \overrightarrow {N{\rm{D}}} ,\overrightarrow {NM} - \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NC} \).

Xem đáp án » 03/07/2023 95

Câu 11:

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ điểm C thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm). Gọi giao
điểm của CO và AD là I.

a) Chứng minh: CO AD.

b) Gọi giao điểm của CB và đường tròn (O) là E (E ≠ B). Chứng minh CE . CB = CI . CO.

c) Chứng minh: Trực tâm H của tam giác CAD di động trên đường cố định khi
điểm C di chuyển trên Ax.

Xem đáp án » 03/07/2023 90

Câu 12:

Cho tam giác ABC có \(\widehat A\) > 90°, kẻ AD vuông góc với AB, AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia AB và AC), kẻ AE vuông góc với AC, AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB, AC). Kẻ AH vuông góc với BC, AH kéo dài cắt DE tại M.

a) Chứng minh hai tam giác ABE; ADC bằng nhau và BE vuông góc với DC.

b) Từ D kẻ DP vuông góc với AM, từ E kẻ EQ vuông góc với AM. Chứng minh
DP = AH.
c) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng DE
d) Giả sử EQ = 3 cm; AQ = 4 cm. Từ Q hạ QI vuông góc với AE. Tính độ dài đoạn
thẳng AI; IE.

Xem đáp án » 03/07/2023 87

Câu 13:

Cho tam giác ABC cân ở A và H là trung điểm BC.Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh

a) \(\widehat {AHO} = \widehat {BCI}\)

b) AH . IC = HI . HC = HO . BC

c) Tam giác AHO đồng dạng tam giác BCI

d) AO vuông góc BI.

Xem đáp án » 03/07/2023 85

Câu 14:

Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thỏa mãn các đẳng thức sau:

a) \(2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

b) \(2\overrightarrow {J{\rm{A}}} + \overrightarrow {JC} - \overrightarrow {JB} = \overrightarrow {CA} \)

c) \(\overrightarrow {{\rm{KA}}} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = 2\overrightarrow {BC} \)

d) \(3\overrightarrow {{\rm{LA}}} + 2\overrightarrow {LC} - \overrightarrow {LB} = \overrightarrow 0 \)

Xem đáp án » 03/07/2023 70

Câu 15:

Cho hai đường thẳng (d1): y = 2x + 5 và (d2): y = (m + 1)x + m – 1

Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm của tung độ bằng 1.

Xem đáp án » 03/07/2023 67