Rút gọn các phân thức sau:
a) \(\frac{{9 - 12x + 4{x^2}}}{{2x - 3}}\);
b) \(\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2} + 2\left( {4{x^2} - 9} \right) + {{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2} - 2\left( {4{x^2} - 9} \right) + {{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\);
c) \(\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^3} - {{\left( {2x - 3} \right)}^3}}}{{{{\left( {3x + 4} \right)}^2} + 3{x^2} - 24x - 7}}\);
d) \(\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) + 1}}{{{x^2} + 5x + 5}}\);
e) \(\frac{{{x^4} + 4}}{{x\left( {{x^2} + 2} \right) - 2{x^2} - {{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1}}\).
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) \(\frac{{9 - 12x + 4{x^2}}}{{2x - 3}} = \frac{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}{{2x - 3}} = 2x - 3\).
b) \(\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2} + 2\left( {4{x^2} - 9} \right) + {{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2} - 2\left( {4{x^2} - 9} \right) + {{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2} + 2\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) + {{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2} - 2\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) + {{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{{{\left( {2x + 3 + 2x - 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {2x - 3 - 2x - 3} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{{{\left( {4x} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}} = \frac{{16{x^2}}}{{36}} = \frac{{4{x^2}}}{9}\).
c) \(\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^3} - {{\left( {2x - 3} \right)}^3}}}{{{{\left( {3x + 4} \right)}^2} + 3{x^2} - 24x - 7}}\)
\( = \frac{{\left( {2x + 3 - 2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x + 3} \right)}^2} + \left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) + {{\left( {2x - 3} \right)}^2}} \right]}}{{9{x^2} + 24x + 16 + 3{x^2} - 24x - 7}}\)
\( = \frac{{6\left( {4{x^2} + 12x + 9 + 4{x^2} - 9 + 4{x^2} - 12x + 9} \right)}}{{12{x^2} + 9}}\)
\( = \frac{{6\left( {12{x^2} + 9} \right)}}{{12{x^2} + 9}} = 6\).
d) \(\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) + 1}}{{{x^2} + 5x + 5}}\)
\( = \frac{{\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) + 1}}{{{x^2} + 5x + 5}}\)
\( = \frac{{\left( {{x^2} + 5x + 5 - 1} \right)\left( {{x^2} + 5x + 5 + 1} \right) + 1}}{{{x^2} + 5x + 5}}\)
\( = \frac{{{{\left( {{x^2} + 5x + 5} \right)}^2} - 1 + 1}}{{{x^2} + 5x + 5}}\)
\( = \frac{{{{\left( {{x^2} + 5x + 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 5x + 5}} = {x^2} + 5x + 5\).
e) \(\frac{{{x^4} + 4}}{{x\left( {{x^2} + 2} \right) - 2{x^2} - {{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1}}\)
\( = \frac{{{x^4} + 4}}{{{x^3} + 2x - 2{x^2} - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 1}}\)
\( = \frac{{{x^4} + 4}}{{{x^3} - 3{x^2} + 6x - 5}}\).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh và SAEF = cos2A.SABC.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với HM tại H cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh PH = QH.
c) Chứng minh \(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt 3 \).
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE.
a) Chứng minh AH = DE.
b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.
c) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ABQ.
d) Chứng minh SABC = 2SDEQP.
Cho tam giác đều ABC cạnh a, điểm M là trung điểm BC. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.
a) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} \);
b) \(\overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \);
c) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \);
d) \(\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - 2,5\overrightarrow {MB} \).
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.
1) Xác định hình tính của tứ giác AMON.
2) Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để MN là tiếp tuyến của (O)?
3) Tính diện tích tứ giác AMON.
Tam giác ABC có AB = AC, tia phân giác của \(\widehat A\) cắt BC tại D.
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.
b) Lấy điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AC sao cho BE = CF. Chứng minh rằng DA là tia phân giác của \(\widehat {EDF}\).
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh .
b) EF cắt CB tại M. Chứng minh MB.MC = ME.MF.
c) Biết SABC = 24, BD = 3 và CD = 5. Tính SBHC.
Cho đường tròn (O; R), đường kính MN. Qua M và N vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở A và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với AP và cắt đường thẳng (d’) ở B.
a) Chứng minh OA = OP.
b) Hạ OH vuông góc với AB. Chứng minh OH = R và AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Chứng minh AM.BN = R2.
d) Tìm vị trí của điểm A để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác \(\widehat A\) cắt BC tại D.
a) Chứng minh DB = DC.
b) Chứng minh AD vuông góc BC.
Cho tứ diện ABCD với \(AC = \frac{3}{2}AD,\,\,\widehat {CAB} = \widehat {DAB} = 60^\circ ,\,\,CD = AD\). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Chọn khẳng định đúng về góc φ.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Chứng minh \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\).
b) Xác định điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A vẽ đường thẳng d (B, C nằm cùng phía đối với d). Kẻ BM và CN vuông góc với d. Chứng minh rằng:
a) ∆BAM = ∆ACN;
b) MN = BM + CN.
