Tính A = sin²2° + sin²4° + sin²6° + … + sin²84° + sin²86° + sin²88°.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh và S_AEF = cos²A.S_ABC.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với HM tại H cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh PH = QH.

c) Chứng minh \(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt 3 \).

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE.

a) Chứng minh AH = DE.

b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.

c) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ABQ.

d) Chứng minh S_ABC = 2S_DEQP.

Cho tam giác đều ABC cạnh a, điểm M là trung điểm BC. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.

a) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} \);

b) \(\overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \);

c) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \);

d) \(\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - 2,5\overrightarrow {MB} \).

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.

1) Xác định hình tính của tứ giác AMON.

2) Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để MN là tiếp tuyến của (O)?

3) Tính diện tích tứ giác AMON.

Tam giác ABC có AB = AC, tia phân giác của \(\widehat A\) cắt BC tại D.

a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.

b) Lấy điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AC sao cho BE = CF. Chứng minh rằng DA là tia phân giác của \(\widehat {EDF}\).

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh .

b) EF cắt CB tại M. Chứng minh MB.MC = ME.MF.

c) Biết S_ABC = 24, BD = 3 và CD = 5. Tính S_BHC.

Cho đường tròn (O; R), đường kính MN. Qua M và N vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở A và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với AP và cắt đường thẳng (d’) ở B.

a) Chứng minh OA = OP.

b) Hạ OH vuông góc với AB. Chứng minh OH = R và AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh AM.BN = R².

d) Tìm vị trí của điểm A để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác \(\widehat A\) cắt BC tại D.

a) Chứng minh DB = DC.

b) Chứng minh AD vuông góc BC.

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

a) Chứng minh \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\).

b) Xác định điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0\).

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A vẽ đường thẳng d (B, C nằm cùng phía đối với d). Kẻ BM và CN vuông góc với d. Chứng minh rằng:

a) ∆BAM = ∆ACN;

b) MN = BM + CN.