Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O') và (O). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa AB và OO' bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và hàm số y = f'(x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\ln \left(x^2-2mx+4\right)$ có tập xác định là R

Cho phương trình $\left(4{\log }_2^{2}x+{\log }_{2}x-5\right)\sqrt{7^x-m}=0$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m  để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

Cho hàm số f(x)  liên tục trên đoạn [-4;4] và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m  thuộc đoạn [-4;4] để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left(x\right)=\left|f\left(x^3-3x+2\right)+2f\left(m\right)\right|$ có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;1] bằng 5 ?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^3-\left(2m-1\right)x^2+x-1$ không có điểm cực đại?

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2{\log }_2\left(2x-2\right)+{\log }_2{\left(x-3\right)}^2=2$ trên R. Tổng các phần tử của S bằng

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB và $A{A}^{\text{'}}=a\sqrt{2}$. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Cho hàm số y = f(2 - x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $3f^2\left(x^2-4x\right)-\left(m+2\right)f\left(x^2-4x\right)+m-1=0$ có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng $\left(0;+\infty \right)$?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4 và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60^o. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Số M ược gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu

Cho có tháp nước như hình dưới đây, tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng hình trụ, phần mái phía trên dạng hình nón và đáy là nửa hình cầu. Không gian bên trong toàn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính đáy hình trụ, hình cầu và đường kính đáy của hình nón đều bằng 3m, chiều cao hình trụ là 2m, chiều cao của hình nón là 1m.

Thể tích của toán bộ không gian bên trong tháp nước gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C' bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'B' và A'C' (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích V của khối chóp A.BCNM là