Giải bởi Vietjack
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có
\[{\rm{x}}y + \frac{1}{{16{\rm{x}}y}} \ge 2\sqrt {xy.\frac{1}{{16{\rm{x}}y}}} \]
\[ \Leftrightarrow {\rm{x}}y + \frac{1}{{16{\rm{x}}y}} \ge \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Với x, y > 0 ta có: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) (BĐT Cosi)
Mà x + y ≤ 1 nên \(2\sqrt {xy} \le 1 \Leftrightarrow \sqrt {xy} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 4 \Leftrightarrow \frac{{143}}{{16}}.\frac{1}{{xy}} \ge \frac{{143}}{{16}}.4 = \frac{{143}}{4}\)
Do đó \(\frac{{143}}{{16xy}} \ge \frac{{143}}{4}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(xy + \frac{1}{{16xy}} + \frac{{143}}{{16xy}} \ge \frac{1}{2} + \frac{{143}}{4} = \frac{{145}}{4}\)
Do đó \(M \ge \frac{{145}}{4}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}xy = \frac{1}{{16xy}}\\x + y = 1\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{145}}{4}\) khi \(x = y = \frac{1}{2}\).
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN. Chọn câu đúng.
Cho DABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a) Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|\).
b) Tính \(\left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BI} } \right|\).
Cho bảng biến thiên hàm số y = f(x) như sau:
So sánh f(– 2021) và f(– 1); \(f\left( {\sqrt 3 } \right)\) và f(2).
Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh
a) Tam giác ADB bằng tam giác ADC.
b) AD là tia phân giác của góc BAC.
c) AD vuông góc BC.
Cho tam giác ABC có \(\widehat B = \widehat C\) . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ADB bằng tam giác ADC
b) AB = AC.
Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC', BCA', CAB'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của CA’, AB’, AC’. Chứng minh rằng:
a) MN = PC.
b) Gọi O là giao điểm của MN và PC. Chứng minh \(\widehat {MOC} = 60^\circ \).
Cho A = (m; m + 1) ; B = (3; 5)
a) Tìm m để A hợp B là một khoảng. Xác định các khoảng đó.
b) A ∩ B ≠ ∅.
c) A ∩ B = ∅.
Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, \(\widehat C = 60^\circ \). Độ dài cạnh c là
Bước 1: Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa đọ của điểm A, B, C, D trên trục x’Ox. Ta có
\(\overline {AB} .\overline {C{\rm{D}}} \) = (b – a)(d – c) = bd – ad – bc + ac (1)
Bước 2: Tương tự \(\overline {AC} .\overline {{\rm{DB}}} \) = cb – ab – cd + ad (2)
Bước 3: Tương tự \(\overline {AD} .\overline {BC} \) = dc – ac – ba + ab (3)
Bước 4: Cộng (1), (2), (3) theo từng vế và rút gọn ta suy ra:
\(\overline {AB} .\overline {C{\rm{D}}} + \overline {AC} .\overline {DB} + \overline {A{\rm{D}}} .\overline {BC} = 0\)
Học sinh giải sai từ bước nào?
Tìm m để hàm số y = \(\sqrt {{x^2} + 4{\rm{x}} + m} \)có tập xác định là ℝ.
Cho tam giác đều ABC cạnh a, gọi G là trọng tâm. Khi đó giá trị \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {GC} } \right|\) là:
Cho hàm số bậc nhất y = (m – 2)x + m + 1 (m là tham số)
a) Với giá trị nào của m thì hàm số y là hàm số đồng biến?
b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(2; 6).
c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B (A và B không trùng với gốc tọa độ O). Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB. Xác định giá trị của m, biết \(OH = \sqrt 2 \).
Rút gọn biểu thức sau
a) \(\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } + \sqrt 2 \);
b) \(\sqrt {8 - 2\sqrt {15} } - \sqrt 5 \);
c) \(\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } + 2\);
e) \(\sqrt {35 - 12\sqrt 6 } \);
g) \(\sqrt {7 - 3\sqrt 5 } \);
f) \(\sqrt {11 - 6\sqrt 2 } \).
