Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD), hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh tam giác BEI cân tại E và tam giác IFC cân tại F.

b) Chứng minh EF = BE + CF.

Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA.

Cho tam giác ABC cân tại A \(\left( {\widehat A < 90^\circ } \right)\), đường cao AH. Kẻ HK ⊥ AC (K ∈ AC).

a) Tính HC, HK, \(\widehat C\) nếu AH = 20 cm, AC = 25 cm.

b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AH, đường thẳng này cắt AC tại điểm E. Kẻ BD ⊥ AC (D ∈ AC). Chứng minh \(B{H^2} = \frac{{C{\rm{D}}.CE}}{4}\).

c) Gọi O là giao điểm của BD và AH. Chứng minh \(\frac{{BO}}{{DO}} = \frac{{A{\rm{E}}}}{{A{\rm{D}}}}\).

d) Kẻ KF ⊥ BC (F ∈ BC). Chứng minh CF = AC. sin³E.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Qua H kẻ các đường thẳng song song với AB và AC lần lượt cắt AC tại E, AB tại D.

a) Chứng minh rằng: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Biết AB = 6 cm; AC = 8 cm. Tính BC, DM, DM + EN?

c) Chứng minh rằng: Tứ giác DMNE là hình thang.

Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Kẻ cát tuyến ADE với đường tròn (O) (D nằm giữa A và E).

a) Chứng minh: bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: OA ⊥ BC tại H và OD² = OH . OA. Từ đó suy ra tam giác OHD đồng dạng với tam giác ODA.

c) Chứng minh CB trùng với tia phân giác của góc DHE.

d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BE, đường thẳng này cắt AB, BC lần lượt tại M và N. Chứng minh: D là trung điểm của MN.

Cho đường tròn tâm O bán kính R = 2,5 cm và dây AB di động, sao cho AB = 4 cm. Hỏi trung điểm H của AB di động trên đường nào?

Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.

a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.

b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh BI = DI.

c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).

c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Chứng minh các hệ thức

a) \(1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a}}\);

b) \(1 + {\cot ^2}a = \frac{1}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a}}\);

c) \(\frac{{\cos a}}{{1 - \sin a}} = \frac{{1 + \sin a}}{{\cos a}}\).

Cho tam giác ABC với AB = AC. Lấy I là trung điểm BC. Trên tia BC lấy điểm N, trên tia CB lấy điểm M sao cho CN = BM. Chứng minh:

a) \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\)và AI là tia phân giác của góc BAC.

b) AM = AN.

c) AI vuông góc với BC.

Cho tam giác ABC nhọn, BD vuông góc với AC, D thuộc AC, CE vuông góc với AB, E thuộc AB, BD cắt CE tại I. Chứng minh góc BIC bù góc A.

Giải phương trình lượng giác \(\sqrt 3 \sin x + cosx = 1\).

Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng và bơi, 13 học sinh thích bơi và bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền, 10 học sinh thích cả ba môn, 12 học sinh không thích môn nào. Tính xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh?

Cho tam giác ABC với AB = AC. Lấy I là trung điểm BC. Trên tia BC lấy điểm N, trên tia CB lấy điểm M sao cho CN = BM. Chứng minh:

a) \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\)và AI là tia phân giác của góc BAC.

b) AM = AN.

c) AI vuông góc với BC.

Phương trình \(\sqrt 3 \sin x - cosx = 1\) tương đương với phương trình nào sau đây?