Cho tứ giác MNPQ gọi R, S, T, V theo tứ tự là trung điểm của MN, NP, PQ, QM.
a) Chứng minh rằng RSTV là hình bình hành.
b) Nếu MP vuông góc với NQ thì RQTV là hình gì?
Giải bởi Vietjack
Lời giải
• Xét ΔMNQ có: R, V lần lượt là trung điểm của MN, MQ
Do đó RV là đường trung bình của ΔMNQ
Suy ra RV // NQ và \(RV = \frac{1}{2}NQ\) (1)
• Xét ΔNPQ có: T, S lần lượt là trung điểm của QP, NP
Do đó TS là đường trung bình của ΔNPQ
Suy ra TS // NQ và \(T{\rm{S}} = \frac{1}{2}NQ\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra RV // TS và RV = TS
Do đó RSTV là hình bình hành.
b) Xét ΔMNP có: R, S lần lượt là trung điểm MN, NP
Suy ra RS là đường trung bình của ΔMNP
Do đó RS // MP
Mà MP ⊥ NQ, nên RS ⊥ NQ (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Lại có ST // NQ
Suy ra RS ⊥ ST hay \(\widehat {RST} = 90^\circ \).
Xét hình bình hành RSTV có \(\widehat {RST} = 90^\circ \)
Suy ra RSTV là hình chữ nhật
Vậy nếu MP vuông góc với NQ thì RQTV là hình chữ nhật.
Cho tam giác abc vuông tại A, M là trung điểm của BC, D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì, tại sao?
b) Chứng minh \(DE = \frac{1}{2}BC\)
c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành.
Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính số đo góc B, góc C (làm tròn đến độ) và đường cao AH.
b) Chứng minh rằng AB. cos B + AC . cosC = BC.
c) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = 2DA. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\).
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính độ dài của các vecto:
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BH} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\).
Cho tam giác ABC đều cạnh a, tâm O. Hãy tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \).
c) \(\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\).
d) \(\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC} } \right)\).
Cho hàm số y = ax – 4 . Tìm hệ số a, biết rằng
a) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2;
b) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = –3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5.
Cho tam giác ABC điểm M nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi A’, B’, C’ thứ tự là điểm đối xứng của M qua D, E, F
a) Chứng minh tứ giác AB’A’B là hình bình hành.
b) Gọi O là giao điểm của AA’ và BB’, chứng minh C và C’ đối xứng nhau qua điểm O.
