Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\).
Giải bởi Vietjack
Ta có x + y + z = xyz.
\( \Leftrightarrow x = \frac{{x + y + z}}{{yz}}\).
\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{x^2} + xy + xz}}{{yz}}\).
\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{yz}}\).
\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} \).
Chứng minh tương tự, ta có \(\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{xz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} \); \(\frac{1}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} \).
Cộng theo từng vế ba đẳng thức trên và áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
\(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\)
\( = \sqrt {\frac{{yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{xz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} \)
\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{x + y}} + \frac{z}{{x + z}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + y}} + \frac{z}{{y + z}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}}} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{x + y}} + \frac{z}{{x + z}} + \frac{x}{{x + y}} + \frac{z}{{y + z}} + \frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}}} \right)\)
\( = \frac{3}{2}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt 3 \).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng \(\frac{3}{2}\) khi và chỉ khi \(x = y = z = \sqrt 3 \).
Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.
b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.
d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.
1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).
2) Chứng minh BH.BE = CD2.
3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .
4) Tính diện tích tam giác BHF.
Mẹ hơn con 30 tuổi, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Hỏi tuổi của mỗi người?
Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 6x2 + 5y2 = 74.
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 và AC = 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(5\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).
Với các số 0, 1, 3, 6, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.
Tìm số tự nhiên x có 3 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số gấp 26 lần số ban đầu.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, biết rằng có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau?
Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức a(x) = x3 – 2x2 + 3x + 50 chia hết cho giá trị của đa thức b(x) = x + 3.
Cho đường thẳng d: y = –4x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d với lần lượt hai trục tọa độ Ox và Oy.
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d.
d) Tính diện tích tam giác OAB.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.BCNM và S.ABCD.
Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) là bình phương của một số hữu tỉ.
Cho hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 4. Tìm m để đồ thị hàm số cắt 2 trục tọa độ tại hai điểm A, B phân biệt thỏa mãn diện tích tam giác AOB bằng 24.
