Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.
b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.
d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.
Giải bởi Vietjack
a) Ta có AC là tiếp tuyến của (O). Suy ra AC ⊥ AB (1)
Chứng minh tương tự, ta được BD ⊥ AB (2)
Từ (1), (2), suy ra AC // BD và \[\widehat {BAC} = 90^\circ \].
Vậy ABDC là hình thang vuông.
b) Ta có MD, MB là hai tiếp tuyến của (O).
Suy ra MD = MB.
Do đó D thuộc đường trung trực của đoạn MB (3)
Lại có OB = OM = R.
Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn MB (4)
Từ (3), (4), suy ra OD là đường trung trực của đoạn MB.
Vậy OD ⊥ MB tại N.
Ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Tam giác ABD vuông tại B có BE là đường cao: BD2 = DE.DA (5)
Tam giác BDO vuông tại B có BN là đường cao: BD2 = DN.DO (6)
Từ (5), (6), ta thu được DE.DA = DN.DO.
c) Xét ∆AOF và ∆OBD, có:
\(\widehat {AOF} = \widehat {OBD} = 90^\circ \);
AO = OB (= R);
\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{O_1}}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABM}\)).
Do đó ∆AOF = ∆OBD (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra OF = BD (cặp cạnh tương ứng).
Mà OF // BD (cùng vuông góc với AB).
Do đó OFDB là hình bình hành.
Mà \[\widehat {OBD} = 90^\circ \].
Vậy OFDB là hình chữ nhật.
d) Ta có AM = OM = OA = R.
Suy ra tam giác OAM đều.
Do đó \(\widehat {DBM} = \widehat {{A_1}} = 60^\circ \) (cùng phụ với \(\widehat {ABM}\)) và DM = DB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra tam giác MBD đều.
Khi đó DB = MB.
Tam giác ABM vuông tại M: \[MB = \sqrt {A{B^2} - A{M^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \].
Ta có CA = CM và CO là tia phân giác của \(\widehat {ACM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra tam giác ACM cân tại C có CO là vừa là đường phân giác, vừa là đường cao.
Gọi K là giao điểm của CO và AM. Suy ra K là trung điểm của AM và CK ⊥ AK.
Ta có \(\widehat {CAK} = 90^\circ - \widehat {KAO} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Tam giác AKC vuông tại K: \[AC = \frac{{AK}}{{\cos \widehat {CAK}}} = \frac{{AM}}{{2.\cos \widehat {CAK}}} = \frac{R}{{2.\cos 30^\circ }} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}\].
Khi đó \[{S_{ABDC}} = \frac{{\left( {AC + BD} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {AC + MB} \right).AB}}{2}\].
\[ = \frac{{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }} + R\sqrt 3 } \right).2R}}{2} = \frac{{4{R^2}}}{{\sqrt 3 }}\].
Vậy diện tích tứ giác ABDC bằng \[\frac{{4{R^2}}}{{\sqrt 3 }}\].
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.
1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).
2) Chứng minh BH.BE = CD2.
3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .
4) Tính diện tích tam giác BHF.
Mẹ hơn con 30 tuổi, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Hỏi tuổi của mỗi người?
Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 6x2 + 5y2 = 74.
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 và AC = 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(5\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, biết rằng có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau?
Với các số 0, 1, 3, 6, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.
Tìm số tự nhiên x có 3 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số gấp 26 lần số ban đầu.
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\).
Cho đường thẳng d: y = –4x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d với lần lượt hai trục tọa độ Ox và Oy.
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d.
d) Tính diện tích tam giác OAB.
Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức a(x) = x3 – 2x2 + 3x + 50 chia hết cho giá trị của đa thức b(x) = x + 3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.BCNM và S.ABCD.
Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.
a) Chứng minh tứ giác ABHM nội tiếp.
b) Chứng minh OA.OB = OH.OM = R2.
c) Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.
d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.
Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) là bình phương của một số hữu tỉ.
