Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 và AC = 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(5\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).
Giải bởi Vietjack
Do tam giác ABC vuông tại A nên BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pythagore).
Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).
Gọi AD là đường phân giác của tam giác ABC.
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\).
Khi đó \(\overrightarrow {BD} = \frac{3}{4}\overrightarrow {DC} \).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {ID} - \overrightarrow {IB} = \frac{3}{4}\overrightarrow {IC} - \frac{3}{4}\overrightarrow {ID} \).
\( \Leftrightarrow \frac{7}{4}\overrightarrow {ID} = \overrightarrow {IB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {IC} \).
\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {ID} = 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} \) (1)
Lại có BI là đường phân giác của tam giác ABD (do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được: \(\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{BD + DC}}{{BA + AC}} = \frac{{BC}}{{BA + AC}} = \frac{5}{7}\).
Khi đó \(7\overrightarrow {ID} = - 5\overrightarrow {IA} \) (2)
Từ (1), (2), suy ra \(4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = - 5\overrightarrow {IA} \).
Vậy \(5\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\) (điều phải chứng minh).
Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.
b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.
d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.
Mẹ hơn con 30 tuổi, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Hỏi tuổi của mỗi người?
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.
1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).
2) Chứng minh BH.BE = CD2.
3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .
4) Tính diện tích tam giác BHF.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 6x2 + 5y2 = 74.
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).
Với các số 0, 1, 3, 6, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.
Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, biết rằng có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau?
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.BCNM và S.ABCD.
Tìm số tự nhiên x có 3 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số gấp 26 lần số ban đầu.
Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức a(x) = x3 – 2x2 + 3x + 50 chia hết cho giá trị của đa thức b(x) = x + 3.
Cho đường thẳng d: y = –4x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d với lần lượt hai trục tọa độ Ox và Oy.
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d.
d) Tính diện tích tam giác OAB.
Tính \(\frac{{a - x}}{{6{x^2} - ax - 2{a^2}}} - \frac{{a + x}}{{4{a^2} - 4ax - 3{x^2}}}\).
Cho hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 4. Tìm m để đồ thị hàm số cắt 2 trục tọa độ tại hai điểm A, B phân biệt thỏa mãn diện tích tam giác AOB bằng 24.
