Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.
a) Chứng minh tứ giác ABHM nội tiếp.
b) Chứng minh OA.OB = OH.OM = R2.
c) Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.
d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.
Giải bởi Vietjack
a) Do ME, MF là hai tiếp tuyến của (O) nên ME = MF.
Khi đó M thuộc đường trung trực của đoạn EF (1)
Lại có OE = OF = R.
Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn EF (2)
Từ (1), (2), suy ra OM là đường trung trực của đoạn EF.
Do đó OM ⊥ EF.
Ta có \[\widehat {MHB} + \widehat {MAB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \].
Vậy tứ giác ABHM nội tiếp đường tròn đường kính MB.
b) Xét ∆OHB và ∆OAM, có:
\(\widehat {HOB}\) chung;
\(\widehat {OHB} = \widehat {OAM} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OB}}{{OM}}\).
Vì vậy OH.OM = OA.OB (3)
Tam giác OEM vuông tại E có EH là đường cao:
OE2 = OH.OM (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
⇔ R2 = OH.OM (4)
Từ (3), (4), ta thu được OA.OB = OH.OM = R2.
c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O).
Ta có \(\widehat {MFI} = \widehat {FEI}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung FI) (5)
Do EF ⊥ OM nên .
Suy ra \(\widehat {FEI} = \widehat {EFI}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (6)
Từ (5), (6), suy ra \(\widehat {MFI} = \widehat {EFI}\).
Do đó FI là tia phân giác của \(\widehat {MFE}\).
Tam giác MEF cân tại M có MH là đường trung trực.
Suy ra MH cũng là đường phân giác của tam giác MEF.
Ta có I là giao điểm của hai đường phân giác FI, MH của tam giác MEF.
Khi đó I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Mà I thuộc đường tròn (O) cố định.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
d) Ta có \({S_{\Delta HBO}} = \frac{1}{2}OH.HB\).
Ta có (chứng minh trên).
Suy ra \(\frac{{HB}}{{AM}} = \frac{{OB}}{{OM}}\).
Do đó HB.OM = AM.OB (7)
Lại có OH.OM = R2 (kết quả câu b) (8)
Nhân (7) và (8) vế theo vế, ta được: \(OH.HB.O{M^2} = {R^2}.AM.OB = {R^2}.AM.\frac{{{R^2}}}{{OA}}\).
\( \Rightarrow OH.HB = AM.\frac{{{R^4}}}{{OA.O{M^2}}} = {R^4}.\frac{{AM}}{{OA.\left( {O{A^2} + A{M^2}} \right)}}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: OA2 + AM2 ≥ 2OA.AM.
Khi đó ta có \(OH.HB = {R^4}.\frac{{AM}}{{OA.\left( {O{A^2} + A{M^2}} \right)}} \le {R^4}.\frac{{AM}}{{OA.2.OA.AM}} = \frac{{{R^4}}}{{2O{A^2}}}\).
Suy ra \({S_{\Delta HBO}} \le \frac{{{R^4}}}{{4O{A^2}}}\).
Dấu “=” xảy ra ⇔ OA = AM.
Vì vậy diện tích tam giác HBO lớn nhất bằng \(\frac{{{R^4}}}{{4O{A^2}}}\) khi và chỉ khi OA = OM.
Vậy M là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho OA = OM thì diện tích tam giác HBO lớn nhất.
Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.
b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.
d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.
1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).
2) Chứng minh BH.BE = CD2.
3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .
4) Tính diện tích tam giác BHF.
Mẹ hơn con 30 tuổi, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Hỏi tuổi của mỗi người?
Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 6x2 + 5y2 = 74.
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 và AC = 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(5\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).
Với các số 0, 1, 3, 6, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\).
Tìm số tự nhiên x có 3 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số gấp 26 lần số ban đầu.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, biết rằng có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau?
Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức a(x) = x3 – 2x2 + 3x + 50 chia hết cho giá trị của đa thức b(x) = x + 3.
Cho đường thẳng d: y = –4x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d với lần lượt hai trục tọa độ Ox và Oy.
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d.
d) Tính diện tích tam giác OAB.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.BCNM và S.ABCD.
Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) là bình phương của một số hữu tỉ.
