Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.
a) Chứng minh tứ giác ABHM nội tiếp.
b) Chứng minh OA.OB = OH.OM = R2.
c) Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.
d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.
a) Do ME, MF là hai tiếp tuyến của (O) nên ME = MF.
Khi đó M thuộc đường trung trực của đoạn EF (1)
Lại có OE = OF = R.
Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn EF (2)
Từ (1), (2), suy ra OM là đường trung trực của đoạn EF.
Do đó OM ⊥ EF.
Ta có \[\widehat {MHB} + \widehat {MAB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \].
Vậy tứ giác ABHM nội tiếp đường tròn đường kính MB.
b) Xét ∆OHB và ∆OAM, có:
\(\widehat {HOB}\) chung;
\(\widehat {OHB} = \widehat {OAM} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OB}}{{OM}}\).
Vì vậy OH.OM = OA.OB (3)
Tam giác OEM vuông tại E có EH là đường cao:
OE2 = OH.OM (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
⇔ R2 = OH.OM (4)
Từ (3), (4), ta thu được OA.OB = OH.OM = R2.
c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O).
Ta có \(\widehat {MFI} = \widehat {FEI}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung FI) (5)
Do EF ⊥ OM nên .
Suy ra \(\widehat {FEI} = \widehat {EFI}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (6)
Từ (5), (6), suy ra \(\widehat {MFI} = \widehat {EFI}\).
Do đó FI là tia phân giác của \(\widehat {MFE}\).
Tam giác MEF cân tại M có MH là đường trung trực.
Suy ra MH cũng là đường phân giác của tam giác MEF.
Ta có I là giao điểm của hai đường phân giác FI, MH của tam giác MEF.
Khi đó I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Mà I thuộc đường tròn (O) cố định.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
d) Ta có \({S_{\Delta HBO}} = \frac{1}{2}OH.HB\).
Ta có (chứng minh trên).
Suy ra \(\frac{{HB}}{{AM}} = \frac{{OB}}{{OM}}\).
Do đó HB.OM = AM.OB (7)
Lại có OH.OM = R2 (kết quả câu b) (8)
Nhân (7) và (8) vế theo vế, ta được: \(OH.HB.O{M^2} = {R^2}.AM.OB = {R^2}.AM.\frac{{{R^2}}}{{OA}}\).
\( \Rightarrow OH.HB = AM.\frac{{{R^4}}}{{OA.O{M^2}}} = {R^4}.\frac{{AM}}{{OA.\left( {O{A^2} + A{M^2}} \right)}}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: OA2 + AM2 ≥ 2OA.AM.
Khi đó ta có \(OH.HB = {R^4}.\frac{{AM}}{{OA.\left( {O{A^2} + A{M^2}} \right)}} \le {R^4}.\frac{{AM}}{{OA.2.OA.AM}} = \frac{{{R^4}}}{{2O{A^2}}}\).
Suy ra \({S_{\Delta HBO}} \le \frac{{{R^4}}}{{4O{A^2}}}\).
Dấu “=” xảy ra ⇔ OA = AM.
Vì vậy diện tích tam giác HBO lớn nhất bằng \(\frac{{{R^4}}}{{4O{A^2}}}\) khi và chỉ khi OA = OM.
Vậy M là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho OA = OM thì diện tích tam giác HBO lớn nhất.
Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.
b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.
d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.
Mẹ hơn con 30 tuổi, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Hỏi tuổi của mỗi người?
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.
1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).
2) Chứng minh BH.BE = CD2.
3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .
4) Tính diện tích tam giác BHF.
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 6x2 + 5y2 = 74.
Với các số 0, 1, 3, 6, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 và AC = 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(5\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).
Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, biết rằng có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau?
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\).
Tìm số tự nhiên x có 3 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số gấp 26 lần số ban đầu.
Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) là bình phương của một số hữu tỉ.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.BCNM và S.ABCD.
Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức a(x) = x3 – 2x2 + 3x + 50 chia hết cho giá trị của đa thức b(x) = x + 3.
Cho đường thẳng d: y = –4x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d với lần lượt hai trục tọa độ Ox và Oy.
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d.
d) Tính diện tích tam giác OAB.