Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} - \frac{1}{{2ab}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
\(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} \ge \frac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} = \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{1^2}}} = 4\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: 4ab ≤ (a + b)2 = 12 = 1.
\( \Rightarrow \frac{2}{{4ab}} \ge \frac{2}{1}\) \( \Rightarrow \frac{1}{{2ab}} \ge 2\) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} - \frac{1}{{2ab}} \ge 4 - 2\).
Vậy \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 2\) (điều phải chứng minh).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}\).
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh rằng BE = CD.
b) Chứng minh BE // CD.
c) Gọi M là trung điểm của BE và N là trung điểm của CD. Chứng minh AM = AN.
a) Viết phương trình đường thẳng biết đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –3.
b) Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) có hệ số góc là –2 và đi qua điểm A(–1; 5).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = |f(x) – m + 2018| có 7 điểm cực trị?
Cho hàm số y = (m – 1)x + m (1) (với m là tham số, m ≠ 0).
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm M(1; 3).
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4. Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được.
