Cho phương trình mx² – (2m + 1)x + (m + 1) = 0    (1)

a) Giải phương trình (1) với \(m = \frac{{ - 3}}{5}\).

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luông có nghiệm với mọi giá trị của m.

c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 2.

Lời giải

a) Thế \(m = \frac{{ - 3}}{5}\) vào phương trình (1) ta được: \(\frac{{ - 3}}{5}{x^2} + \frac{1}{5}x + \frac{2}{5} = 0\).

⇔ –3x² + x + 2 = 0.

⇔ (3x + 2)(x – 1) = 0.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 2 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{2}{3}\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = \frac{{ - 3}}{5}\) thì tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - \frac{2}{3};1} \right\}\).

b) Ta có ∆ = (2m + 1)² – 4m(m + 1) = 4m² + 4m + 1 – 4m² – 4m = 1 > 0, ∀m.

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm, với mọi giá trị của m.

c) Hai nghiệm của phương trình (1) là: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{2m + 1 + 1}}{{2m}} = \frac{{m + 1}}{m}\\{x_2} = \frac{{2m + 1 - 1}}{{2m}} = 1\end{array} \right.\)

Vì x₂ = 1 < 2 nên để phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 2 thì x₁ > 2.

Tức là, \(\frac{{m + 1}}{m} > 2\).

\( \Leftrightarrow \frac{{ - m + 1}}{m} > 0\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 1 > 0\\m > 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} - m + 1 < 0\\m < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m > 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\) (vô lí).

⇔ 0 < m < 1.

Vậy 0 < m < 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.