Thứ sáu, 15/11/2024
IMG-LOGO

Câu hỏi:

22/07/2024 70

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B và SA (ABCD). Biết \(SA = AD = a\sqrt 2 \), AB = BC = a. Tính khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SBD).

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

Trong (ABCD): kẻ AE BD.

Trong (SAE): kẻ AK SE.

Ta có BD AE và BD SA.

Suy ra BD (SAE).

Do đó BD AK.

Mà AK SE.

Vì vậy AK (SBD).

Khi đó d(A, (SBD)) = AK.

Tam giác ABD vuông tại A có AE là đường cao:

\(AE = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Tam giác SAE vuông tại A có AK là đường cao:

\(AK = \frac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 6 }}{3}}}{{\sqrt {2{a^2} + \frac{{2{a^2}}}{3}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AK = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Trong (ABCD): gọi I = AC ∩ BD.

Ta có AB = BC = a và \(\widehat {ABC} = 90^\circ \).

Suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.

Do đó \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \)\(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = 45^\circ \).

\(\widehat {IAD} = \widehat {BAD} - \widehat {BAC} = 45^\circ \).

Suy ra AI là tia phân giác của \(\widehat {BAD}\).

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: \(\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Do đó \(ID = \sqrt 2 IB\).

Ta có \(IB + ID = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow IB + \sqrt 2 IB = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow IB = \frac{{a\sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 2 }} = a\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 } \right)\).

Ta có \(I{B^2} = A{B^2} + A{I^2} - 2AB.AI.\cos \widehat {BAI}\).

\[ \Rightarrow A{I^2} - a\sqrt 2 .AI + \left( {6\sqrt 2 - 8} \right){a^2} = 0\].

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}AI = a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)\\AI = a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\)

Vì AI > IB nên ta nhận \(AI = a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)\).

Với \(AI = a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)\), ta có \(IC = AC - AI = a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\).

Khi đó \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{IC}}{{IA}}.d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)}}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{a}{2}\).

Vậy khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng \(\frac{a}{2}\).

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đường thẳng d có phương trình y = (m – 1)x + 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là lớn nhất.

Xem đáp án » 01/08/2023 174

Câu 2:

Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM = AN. Gọi E và D lần lượt là trung điểm của MN và BC. Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng.

Xem đáp án » 01/08/2023 166

Câu 3:

Cho hàm số y = mx + 3. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.

Xem đáp án » 01/08/2023 143

Câu 4:

Từ 12 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá.

Xem đáp án » 01/08/2023 141

Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = –4x2 + 4mx – m2 + 2 nghịch biến trên (–2; +∞).

Xem đáp án » 01/08/2023 126

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm B(–2; 3), C(3; 1). Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Xem đáp án » 01/08/2023 126

Câu 7:

Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d: y = mx – m + 1 (m ≠ 0) lớn nhất.

Xem đáp án » 01/08/2023 121

Câu 8:

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.

a) Chứng minh rằng BE = CD.

b) Chứng minh BE // CD.

c) Gọi M là trung điểm của BE và N là trung điểm của CD. Chứng minh AM = AN.

Xem đáp án » 01/08/2023 116

Câu 9:

a) Viết phương trình đường thẳng biết đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –3.

b) Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) có hệ số góc là –2 và đi qua điểm A(–1; 5).

Xem đáp án » 01/08/2023 107

Câu 10:

Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc AD, AD = 3,5 cm, \(\widehat D = 60^\circ \). Tính diện tích hình bình hành ABCD.

Xem đáp án » 01/08/2023 90

Câu 11:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Media VietJack

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = |f(x) – m + 2018| có 7 điểm cực trị?

Xem đáp án » 01/08/2023 89

Câu 12:

Hai người xài youtube mất 2 phút để đăng 2 đoạn video. Vậy cần bao nhiêu người để đăng được 18 clip trong vòng 6 phút?

Xem đáp án » 01/08/2023 85

Câu 13:

Cho hàm số y = (m – 1)x + m (1) (với m là tham số, m ≠ 0).

a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm M(1; 3).

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4. Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được.

Xem đáp án » 01/08/2023 81

Câu 14:

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?

Xem đáp án » 01/08/2023 80

Câu 15:

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, \(AC = a\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm I của BC. Tính khoảng cách giữa BB’ và AC’.

Xem đáp án » 01/08/2023 78

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »