Tìm số nguyên dương n sao cho:
\({\log _{2018}}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt {2018} }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{{2018}}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{{2018}}}}2019\)
= 10102 . 20212 log 2018 2019
Lời giải
\({\log _{2018}}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt {2018} }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{{2018}}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{{2018}}}}2019\)
\( = {\log _{2018}}2019 + {2^2}\,.\,2{\log _{2018}}2019 + {3^2}\,.\,3{\log _{2018}}2019 + ... + {n^2}\,.\,n{\log _{2018}}2019\)
= log 2018 2019 + 23 . log 2018 2019 + 33 . log 2018 2019 + … + n3 . log 2018 2019
= (13 + 23 + 33 + … + n3) log 2018 2019
Nên để \({\log _{2018}}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt {2018} }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{{2018}}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{{2018}}}}2019\)
= 10102 . 20212 log 2018 2019 thì:
13 + 23 + 33 + … + n3 = 10102 . 20212
\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{n^2} + n}}{2}} \right)^2} = {1010^2}\,.\,{2021^2}\)
\( \Rightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 1010\,.\,2021\)
Û n(n + 1) = 2 . 1010 . 2021 = 2020 . 2021
Þ n = 2020
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, tia phân giác của góc B và góc C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh BE = CD, AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC tại M. Chứng minh tam giác MAC vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE. Các đường này cắt BC tại K và H. Chứng minh HK = KC.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 + y2 − 4xy
b) 27 + 9x2 + 27x + x3
c) 8z3 + 1
d) (2z − 3)2 − 16
e) (2x − 7)2 − (x + 2)2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 4x2 − 4xy + y2
b) 9x3 − 9x2y − 4x + 4y
c) x3 + 2 + 3(x3 − 2)