Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (–1; 2; 4) và B (0; 1; 5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?
A. \[{\rm{d}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\]
B. \[{\rm{d}} = \sqrt 3 \]
C. \[{\rm{d}} = \frac{1}{3}\]
D. \[{\rm{d}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt 3 \)
Gọi H là hình chiếu của B trên mặt phẳng (P)
Khi đó ta có BH là khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P)
Ta luôn có BH ≤ AB do đó khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) lớn nhất khi H ≡ A
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right)\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Suy ra phương trình mặt phẳng (P) đi qua A (–1; 2; 4) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right)\) là x – y + z – 1 = 0
Do đó khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) là:
\(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Vậy ta chọn đáp án D.
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log3a – 2log9b = 2, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau.
Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của: \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}.\)
Tìm số nguyên a, b biết \(\frac{a}{7} - \frac{1}{2} = \frac{1}{{b + 3}}\).
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \(\log _2^2x + 4{\log _2}x - m = 0\) có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bẳng 2a và \(\widehat {ABC} = 45^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} } \right|\).
Cho lục giác ABCDEF. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác.
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x + (3 – m) . 2x – m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Cho phương trình \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn [–2019; 2019] để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Chứng minh đẳng thức sau: (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x).
Chứng minh rằng: Nếu P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (P – 1)(P + 1) chia hết cho 24.
