Một vụ nổ được hai micro M1 và M2 cách nhau 2 dặm ghi lại (1 dặm bằng 5 280 feet). Micro M1 nhận được âm thanh trước 4 giây so với micro M2. Giả sử âm thanh di chuyển với tốc độ 1 100 feet/giây. Tập tất cả các điểm P xảy ra vụ nổ thỏa mãn các điều kiện trên là một hypebol có phương trình dạng , với hai micro M1 và M2 là các tiêu điểm. Khi đó a + b bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)
A. 2 200;
B. 4 800;
C. 5 280;
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta bắt đầu bằng cách đặt micro trong một hệ tọa độ vuông góc. Bởi vì 
dặm bằng 5 280 feet nên ta đặt M1 trên trục hoành cách gốc tọa độ 5280 feet về bên phải và đặt M2 trên trục hoành cách gốc tọa độ 5 280 feet về bên trái như hình vẽ minh họa hai micro cách nhau 2 dặm.
Ta biết rằng M2 nhận được âm thanh sau 4 giây so với M1. Vì âm thanh di chuyển với tốc độ 1 100 feet/giây nên hiệu số khoảng cách từ P (nơi xảy ra vụ nổ) tới M2 và từ P tới M1 là 4 400 feet.
Tập tất cả các điểm P xảy ra vụ nổ thỏa mãn các điều kiện này là một hyperbol, với hai micro M1 và M2 là các tiêu điểm.
Như vậy, vị trí xảy ra vụ nổ nằm trên hyperbol có phương trình chuẩn là .
Ta cần xác định các hệ số a và b.
Ta có hiệu số khoảng cách giữa hai micro là 4 400 feet và được đặt bằng 2a, tức là 2a = 4 400 suy ra a = 2 200.
Ta có hay .
Ta lại có khoảng cách từ gốc O(0; 0) tới tiêu điểm M2(–5 280; 0) hoặc M1(5 280; 0) đều bằng 5 280. Do đó c = 5 280.
Sử dụng hệ thức
Vậy a + b = 2 200 + 4 800 = 7 000.
Điều hướng LORAN (điều hướng vô tuyến đường dài) cho máy bay và tàu thủy sử dụng các xung đồng bộ được truyền bởi hai trạm phát đặt cách xa nhau. Các xung này di chuyển với tốc độ ánh sáng (186 000 dặm/giây). Sự chênh lệch về thời gian nhận được phản xạ của các xung này từ một máy bay hoặc tàu thủy là không đổi, nên máy bay hoặc con tàu sẽ nằm trên một hyperbol có các trạm phát là các tiêu điểm. Giả sử rằng hai trạm phát cách nhau 300 dặm, được đặt trên một hệ tọa độ vuông góc tại các điểm có tọa độ (–150; 0) và (150; 0) và một con tàu đang đi trên một con đường là một nhánh của hypebol và có tọa độ (x; 75) (xem hình vẽ).
Giá trị gần đúng của hoành độ của vị trí con tàu khi chênh lệch thời gian giữa các xung từ các trạm phát là 1 000 micro giây (0,001 giây) là
Để chụp toàn cảnh, ta có thể sử dụng một gương hypebol. Máy ảnh được hướng về phía đỉnh của gương và tâm quang học của máy ảnh được đặt tại một tiêu điểm của gương (hình vẽ).
Phương trình cho mặt cắt của gương là .
Khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) là
Một gương hypebol (được sử dụng trong một số kính thiên văn) có tính chất là một tia sáng hướng vào tiêu điểm sẽ bị phản xạ sang tiêu điểm khác. Gương trong hình vẽ có phương trình . Điểm nào trên gương sẽ nhận được tia sáng đi qua điểm (0; 10) và bị phản xạ sang tiêu điểm còn lại? (tham khảo hình vẽ)
Một kiến trúc sư quan tâm đến việc thiết kế một mái vòm mỏng có hình dạng của hình Hyperbolic parabolid như Hình 1. Hỏi điểm thuộc Hyperbol nằm cao hơn đỉnh 6 m ở bên phải cách đỉnh bao xa (làm tròn tới hai chữ số thập phân)?
Một con tàu đang trên hành trình đi song song với một bờ biển thẳng và cách bờ 80 km. Hai trạm truyền tin S1 và S2 nằm trên bờ biển, cách xa nhau 220 km. Bằng cách tính giờ các tín hiệu vô tuyến từ hai trạm, hoa tiêu của tàu xác định rằng con tàu đang ở giữa hai trạm và ở gần S2 hơn S1 là 60 km. Khoảng cách từ con tàu tới trạm S2 (làm tròn đến hai chữ số thập phân) là
Điều hướng LORAN (điều hướng vô tuyến đường dài) cho máy bay và tàu thủy sử dụng các xung đồng bộ được truyền bởi các trạm phát đặt cách xa nhau. Các xung này di chuyển với tốc độ ánh sáng (186 000 dặm/giây). Sự chênh lệch về thời gian nhận được phản xạ của các xung này từ một máy bay hoặc tàu thủy là không đổi, nên máy bay hoặc con tàu sẽ nằm trên một hyperbol có các trạm phát là các tiêu điểm. Giả sử rằng hai trạm phát, cách nhau 300 dặm, được đặt trên một hệ tọa độ vuông góc tại các điểm có tọa độ (–150; 0) và (150; 0) và một con tàu đang đi trên một con đường là một nhánh của hypebol (xem hình vẽ).
Biết rằng độ chênh lệch thời gian giữa các xung từ các trạm phát với con tàu là 1 000 micro giây (0,001 giây). Khoảng cách giữa tàu và trạm phát số 1 khi tàu vào bờ là
Một anten gương đơn hình parabol có phương trình y2 = 20x. Ống thu của anten được đặt tại tiêu điểm của nó. Ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ là
Hai tháp vô tuyến cách nhau 200 km được đặt dọc bờ biển với A nằm về phía Tây đối với B. Các tín hiệu vô tuyến được gửi đồng thời từ mỗi tháp tới một con tàu và tín hiệu ở B nhận được sớm hơn 500 micro giây trước tín hiệu ở A. Giả sử rằng các tín hiệu vô tuyến truyền đi với vận tốc 300 mét/micro giây và con tàu nằm về phía Bắc của tháp B thì tàu cách bờ biển bao xa (làm tròn đến hai chữ số thập phân)?
Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình . Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng
