Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;2), trong đó a, b là các số hữu tỷ dương tùy ý và mặt phẳng (P) có phương trình2x – 2y + 1 = 0. Biết rằng (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng $\frac{2}{\sqrt{33}}$. Giá trị của ab bằng:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ

Tổng giá trị cực đại và cực tiểu đã cho bằng

Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $\left|w+i\right|=\frac{3}{\sqrt{10}}$ và $10w=\left(3-i\right)\left(z-3\right)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left|z-2-i\right|+\left|z-6-i\right|$ bằng

Một đội văn nghệ có 6 bạn nam và 4 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca?

Cho hình phẳng (H) giới hạn với đường$y=\sqrt{x-2}$, trục hoành và đường thẳng x = 9. Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) xung quanh trục hoành có thể tích V bằng:

Có bao nhiêu số phức z thỏa $\left|z+1-2i\right|=\left|\overline{z}+3+4i\right|$ và $\frac{z-2i}{\overline{z}+i}$ là một số thuần ảo?

Cho đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol (P) có đỉnh trên Ox và trục đối xứng của (P) vuông góc với trục hoành như hình vẽ. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) (phần tô đen)

Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

${\log }_3\left(x^2+8\right)-{\log }_{3}x+x^2-9x+6\le 0$.

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-1\right|=1.$ Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left(1+i\sqrt{3}\right)z+2$ là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó là:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại C, $BC=a\sqrt{2}$ và gọi M  là trung điểm của đoạn thẳng A’B’. Biết khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (AC’M) bằng $\frac{2\sqrt{2}}{3}a$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a\in \left(-100;+\infty \right)$ để hàm số $y=\left|x^4+2a{x}^2+8x-a^2+55\right|$ nghịch biến trên khoảng $\left(-2;-1\right)$?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y+2z+6=0;\left(Q\right):x-2y+z+2023=0$. Điểm N di động trên (S), điểm (M) đi động trên (P) sao cho MN vuông góc với (Q). Độ dài lớn nhất của đoạn thẳng MN bằng

Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi $S_1$ là tổng diện tích ba quả bóng bàn,$S_2$là diện tích xung quanh hình trụ. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng