Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B). Từ điểm M vẽ đường thẳng MN vuông góc với BC (N thuộc BC), đường thẳng MN cắt đường thẳng AC tại K.

1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp.

2) Chứng minh $\widehat{ABK}=\widehat{ACM}.$

3) Đoạn thẳng BKcắt đường tròn đường kính BM tại điểm D (D khác B). Gọi I là tâm và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác BKC. Chứng minh $\frac{1}{r}=\frac{1}{KN}+\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB}\cdot$

1) Xét tứ giác AMNC có

$\widehat{CAM}=\widehat{CAB}=90°$ ($\Delta ABC$ vuông tại $A,M\in AB$).

$\widehat{CNM}=90°$ ($MN\perp BC$).

Suy ra $\widehat{CAM}+\widehat{CNM}=90°+90°=180°$.

Vậy tứ giác AMNC nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180^o ).

2)

Xét ANBK có

$\widehat{KAB}=90°$ (kề bù với góc vuông CAB).

$\widehat{KNB}=\widehat{MNB}=90°$ (MN vuông góc BC, K thuộc đường thẳng MN).

Suy ra $\widehat{KAB}=\widehat{KNB}=90°.$

Do đó tứ giác ANBK nội tiếp (hai đỉnh A, N kề nhau cùng nhìn cạnh BK dưới một góc bằng 90^o )

Suy ra $\widehat{ABK}=\widehat{ANK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK)                 (1)

Vì tứ giác AMNC nội tiếp (chứng minh câu 5.1)

nên $\widehat{ANM}=\widehat{ACM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

hay $\widehat{ANK}=\widehat{ACM}$ (K thuộc đường thẳng MN)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ABK}=\widehat{ACM}.$

3)

Xét $\Delta BCK$ có BA là đường cao, KN là đường cao, M là giao điểm của BA và K

Suy ra M là trực tâm của $\Delta BCK.$

Do đó $CM\perp BK$      (1)

Xét đường tròn đường kính BM có $\widehat{MDB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra $MD\perp BK$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm C, M, D thẳng hàng. Do đó $CD\perp BK.$

Diện tích $\Delta BIC$ là $S_{BIC}=\frac{1}{2}.r.BC$.

Diện tích $\Delta BIK$ là $S_{BIK}=\frac{1}{2}.r.BK$.

Diện tích $\Delta CIK$ là $S_{CIK}=\frac{1}{2}.r.CK$.

Diện tích $\Delta BCK$ là $S_{BCK}=\frac{1}{2}KN.BC=\frac{1}{2}BK.CD=\frac{1}{2}CK.AB$.

Suy ra $\frac{1}{2}BC=\frac{S_{BCK}}{KN};\frac{1}{2}BK=\frac{S_{BCK}}{CD};\frac{1}{2}CK=\frac{S_{BCK}}{AB}$.

Mà $S_{BCK}=S_{BIC}+S_{BIK}+S_{CIK}$

Hay $S_{BCK}=r\cdot \frac{S_{BCK}}{KN}+r\cdot \frac{S_{BCK}}{CD}+r\cdot \frac{S_{BCK}}{AB}$

Do đó $S_{BCK}=r.S_{BCK}\left(\frac{1}{KN}+\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB}\right)$

Vậy $\frac{1}{r}=\frac{1}{KN}+\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB}\cdot$