Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO

Câu hỏi:

12/07/2024 34

Phương trình ${\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = 3 \cdot {2^x}$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Tính giá trị biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$.

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta có \[\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \cdot \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - 1}}.\]

Khi đó ${\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = 3 \cdot {2^x}$

$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 3$ (chia hai vế cho ${2^x}$)

$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - x}} = 3$

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2x}} - 3 \cdot {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}

{{{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^x} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \\

{{{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^x} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}

\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}

{x = 1} \\

{x = - 1}

\end{array}.} \right.\]

Vậy $A = 2.$

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho $a$ là số thực dương khác $1$. Khi đó $\sqrt[8]{{{a^3}}}$ bằng

Xem đáp án » 06/04/2024 42

Câu 2:

Nếu $m$ là số nguyên dương, biểu thức nào sau đây không bằng với ${\left( {{2^4}} \right)^m}$?

Xem đáp án » 06/04/2024 38

Câu 3:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \left( {2{x^3} - 5x} \right) \cdot {3^x}$;                      b) $y = \sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)$.

Xem đáp án » 06/04/2024 36

Câu 4:

Cho ${4^x} + {4^{ - x}} = 7$. Khi đó biểu thức $P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + 4 \cdot {2^x} + 4 \cdot {2^{ - x}}}} = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b \in \mathbb{Z}$. Tích $ab$ có giá trị bằng

Xem đáp án » 06/04/2024 35

Câu 5:

Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a \ne 1$, ${\log _{{a^5}}}b$ bằng

Xem đáp án » 06/04/2024 33

Câu 6:

Tập xác định của hàm số $y = {\log _3}x$

Xem đáp án » 06/04/2024 33

Câu 7:

Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.EFGH\]. Xác định số đo góc giữa hai đường thẳng $AE$$CD$.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH Xác định số đo  (ảnh 1)

Xem đáp án » 06/04/2024 33

Câu 8:

Nghiệm của phương trình ${3^x} = 7$

Xem đáp án » 06/04/2024 32

Câu 9:

Đạo hàm của hàm số $y = \cos x$ tại $x = \frac{\pi }{3}$

Xem đáp án » 06/04/2024 32

Câu 10:

Cho hình chóp \[S.ABC\]\[SA \bot \left( {ABC} \right)\] (như hình vẽ dưới).

Cho hình chóp S.ABCS có SA vuông góc (ABC) (như hình vẽ) (ảnh 1)

Hình chiếu của \[SC\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]

Xem đáp án » 06/04/2024 32

Câu 11:

Cho $a > 0,m,n \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 06/04/2024 30

Câu 12:

Cho $a$ là số thực dương khác $1.$ Giá trị của ${a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}}$ là

Xem đáp án » 06/04/2024 30

Câu 13:

Chọn khẳng định đúng?

Xem đáp án » 06/04/2024 29

Câu 14:

Cho đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$, đường thẳng $b$ vuông góc với đường thẳng $a$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 06/04/2024 29

Câu 15:

Cho ${\log _2}x = \sqrt 2 $. Giá trị của biểu thức $A = {\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}{x^3} + {\log _4}x$ bằng

Xem đáp án » 06/04/2024 28

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »