a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 3;\,\,{u_6} = 27\). Tính \({u_{12}}.\)
b) Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao \(10\) m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \(\frac{3}{4}\) độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.
Giải bởi Vietjack
a) Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) đã cho nên \({u_6} = {u_1} + 5d\)\( \Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d\)\( \Leftrightarrow d = 6\).
\( \Rightarrow {u_{12}} = {u_1} + \left( {12 - 1} \right)d = - 3 + \left( {12 - 1} \right)6 = 63.\)
b) Gọi \({u_n}\) là quãng đường quả bóng cao su đi xuống lần thứ \(n,\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)
Quãng đường quả bóng cao su đi xuống lần thứ nhất là \({u_1} = 10\) (m).
Quãng đường quả bóng cao su đi xuống lần thứ hai là \({u_2} = \frac{3}{4}{u_1} = \frac{3}{4}.10\) (m).
Quãng đường quả bóng cao su đi xuống lần thứ ba là
\({u_3} = \frac{3}{4}{u_2} = \frac{3}{4}.\frac{3}{4}10 = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}.10\) (m).
Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = \frac{3}{4}.\)
Vì \(\left| q \right| = \frac{3}{4} < 1\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là \({S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{10}}{{1 - \frac{3}{4}}}\) \( = 40\) (m).
Vì bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao \(10\) m theo phương thẳng đứng nên tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn là \(2S - 10 = 70\) (m).
Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(b\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \beta \right)\). Nếu \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right)\) thì mệnh đề nào dưới đề nào sau đây sai?
a) Cho biết \(\sin x = \frac{3}{4}.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = {\sin ^2}2x.\)
b) Giải phương trình \(\sin 2x - \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0.\)
Cho góc \[\alpha \] thỏa mãn \[\sin \alpha = \frac{1}{2}.\] Giá trị của \(P = \cos 2\alpha \) là
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và \({u_2} = - 6\). Công bội \(q\) của cấp số nhân là
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD\) và \(AB{\rm{//}}CD.\) Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn \(AB.\) Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh \(SA\) và \(SB\) sao cho \(\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Khi đó
