Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh \[a.\] Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'B'CD} \right)\) và \(\left( {ACC'A'} \right)\) bằng bao nhiêu độ?

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] sao cho gốc tọa độ \(O \equiv A',\,\,Ox \equiv A'D',\,\,Oy \equiv A'B',\,\,Oz \equiv A'A.\)

Khi đó: \(A'\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,D'\left( {a\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,B'\left( {0\,;\,\,a\,;\,\,0} \right),\,\,C'\left( {a\,;\,\,a\,;\,\,0} \right),\)

\(A\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,a} \right),\,\,D\left( {a\,;\,\,0\,;\,\,a} \right),\,\,B\left( {0\,;\,\,a\,;\,\,a} \right),\,\,C\left( {a\,;\,\,a\,;\,\,a} \right)\)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {A'B'}  = \left( {0\,;\,\,a\,;\,\,0} \right),\,\,\overrightarrow {A'D}  = (a\,;\,\,0\,;\,\,a),\]\[\,\,\overrightarrow {A'A}  = \left( {0\,;\,\,0\,;\,\,a} \right),\,\,\overrightarrow {A'C'}  = \left( {a\,;\,\,a\,;\,\,0} \right).\]

\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\,\,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {{a^2}\,;\,\,0\,;\,\, - {a^2}} \right).\)

Chọn \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 1\,;\,\,1\,;\,\,0} \right)\] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ACCA} \right)\).

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {ACCA} \right)\) là:

\(\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{| - 1|}}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt 2 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = 60^\circ \). Đáp án: 60.