Cho biểu thức \(A = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}} \right) + \frac{9}{{\sqrt x  + 2}},\) với \(x \ge 0.\)

1) Rút gọn biểu thức \(A.\)

2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên.

1) Với \(x \ge 0,\) ta có:

\(A = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}} \right) + \frac{9}{{\sqrt x  + 2}}\)

 \( = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{9}{{\sqrt x  + 2}}\)

 \( = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{9}{{\sqrt x  + 2}}\)\( = \frac{{3\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}}.\)

Vậy với \(x \ge 0\) thì \(A = \frac{{3\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}}.\)

2) Với \(x \ge 0,\) ta có: \(A = \frac{{3\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{3\left( {\sqrt x  + 2} \right) + 4}}{{\sqrt x  + 2}} = 3 + \frac{4}{{\sqrt x  + 2}}.\)

Vì \(x \in \mathbb{Z},\,\,x \ge 0\) nên \(\sqrt x \) là số tự nhiên hoặc là số vô tỉ.

Trường hợp 1. Xét \(x \in \mathbb{Z},\,\,x \ge 0\) nhưng \(\sqrt x \) là số vô tỉ.

  Khi đó \(\sqrt x  + 2\) là số vô tỉ nên \[\frac{4}{{\sqrt x  + 2}}\] là số vô tỉ.

  Do đó \(A = \frac{{3\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}} = 3 + \frac{4}{{\sqrt x  + 2}}\) cũng là số vô tỉ (loại).

Trường hợp 2. Xét \(x \in \mathbb{Z},\,\,x \ge 0\) và \(\sqrt x \) là số tự nhiên. 

  Khi đó \(A \in \mathbb{Z}\) khi \(\left( {\sqrt x  + 2} \right) \in \)Ư\[\left( 4 \right).\]

  Mà Ư\[\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\] và \(\sqrt x  + 2 \ge 2\) nên \[\left( {\sqrt x  + 2} \right) \in \left\{ {2;\,\,4} \right\}.\]

Ta có bảng sau:

\(\sqrt x  + 2\)	\(2\)	\(4\)
\(\sqrt x \)	\(0\)	\(2\)
\(x\) \(\left( {x \in \mathbb{Z}} \right)\)	\(0\) (thỏa mãn)	\(4\) (thỏa mãn)

Kết hợp điều kiện \(x \ge 0\) ta được \(x \in \left\{ {0;\,\,4} \right\}.\)

Vậy \(x \in \left\{ {0;4} \right\}\) thì \(A\) có giá trị nguyên.