Cho tứ diện có đôi một vuông góc và . Gọi là trung điểm của .

a) .

b) .

c) .

d) .

a) Đ,            b) S,            c) S,             d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Theo quy tắc ba điểm, ta có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} \)\( = \overrightarrow {AD} + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).

Vậy ý a) đúng.

– Do \(AB,\,AC,\,AD\) đôi một vuông góc nên ta có:

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\).

Vậy ý) b sai.

– Vì \(AB = 1\) nên \({\overrightarrow {AB} ^2} = 1\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có:

\(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {0 - 1 + 0 - 0} \right) = - \frac{1}{2}\).

Vậy ý c) sai.

– Ta tính được \(AM = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\,\,BD = \sqrt 2 \), suy ra

\(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = - \frac{1}{2}\).

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {BD} } \right) = 120^\circ \). Do đó, ý d) đúng.