Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị cacbon). Khi một bộ phận của cây đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng sẽ ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Gọi $P\left(t\right)$ là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì  được cho bởi công thức $P\left(t\right)=100.{\left(0,5\right)}^{\frac{t}{5750}}\left(\%\right)$. Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong gỗ là 45,78 (%). Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có $AB=a\sqrt{3}$ và $AD=a$(tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng $B\text{'}D\text{'}$ và AC bằng

Cho hình trụ $\left(T\right)$ có chiều cao bằng đường kính đáy, hai đáy là các hình tròn $\left(O;r\right)$ và $\left(O\text{'};r\right)$. Gọi A là điểm di động trên đường tròn $\left(O;r\right)$v à B là điểm di động trên đường tròn $\left(O\text{'};r\right)$ sao cho AB không là đường sinh của hình trụ $\left(T\right)$. Khi thể tích khối tứ diện $OO\text{'}AB$ đạt giá trị lớn nhất thì đoạn thẳng AB có độ dài bằng

Cho khối nón có bán kính đáy bằng r và độ dài đường sinh bằng 3 lần bán kính đáy. Thể tích của khối nón đã cho bằng

Giả sử rằng f là hàm số liên tục và thỏa mãn $3x^5+96={\int }_c^{x}f\left(t\right)dt$ với mỗi $x\in \mathrm{ℝ}$, trong đó c là một hằng số. Giá trị của c thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Biết rằng $4^a=x$ và ${16}^b=y$. Khi đó xy bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=27$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}$. Mặt phẳng  chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu $\left(S\right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Nếu phương trình của $\left(P\right)$ là $ax+by-z+c=0$ thì

Nghiệm của phương trình ${\log }_{2019}\left(x-5\right)=13$ là

Cho $f\left(x\right)$ là hàm đa thức thỏa mãn $f\left(x\right)-xf\left(1-x\right)=x^4-5x^3+12x^2-4\forall x\in \mathrm{ℝ}$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên tập $D=\left\{x\in \mathrm{ℝ}|x^4-10x^2+9\le 0\right\}$. Giá trị của $21m+6M+2019$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left(-3;9;6\right)$. Gọi $M_1, M_2, M_3$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Mặt phẳng $M_1{M}_2{M}_3$ có phương trình là

Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y=\frac{\left(2x^2+x\right)\sin x-\left(x-1\right)\cos x}{x\sin x+\cos x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$ và $x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$. Biết rằng diện tích của hình phẳng D bằng $\frac{{\mathrm{\pi }}^2+4\mathrm{\pi }}{16}+a\ln 2+b\ln \left(\mathrm{\pi }+4\right)$, với a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Biết rằng khối tứ diện đều cạnh bằng k thì có thể tích bằng $\frac{\sqrt{2}{k}^3}{12}$. Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có cạnh bằng $a\sqrt{2}$. Tính theo a thể tích khối tứ diện $ACB\text{'}D\text{'}$ .

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-9x^4-5x^2$ với trục hoành là

Tìm các số thực p và q thỏa mãn $3p+\left(2q-3i\right)=9-8i$ với i là đơn vị ảo.

Cho hàm số $g\left(x\right)=2x^3+x^2-8x+7$. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình $\sqrt{g\left(g\left(x\right)-3\right)+m}=2g\left(x\right)-5$ có 6 nghiệm thực phân biệt?

Cho d là đường thẳng đi qua điểm $A\left(-1;3\right)$ và có hệ số góc m. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số $y=x^3-3x+1$ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị  tại B và C cắt nhau tại điểm I nằm trên đường tròn đường kính BC. Tính tổng bình phương các phần tử thuộc tập hợp S.