Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có $C\left(3;2;3\right)$, đường cao AH nằm trên đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-3}{-2}$ và đường phân giác trong BD của góc B nằm trên đường thẳng $d_2$ có phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-3}{1}$. Diện tích tam giác ABC bằng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có $AB=a\sqrt{3}$ và $AD=a$(tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng $B\text{'}D\text{'}$ và AC bằng

Cho hình trụ $\left(T\right)$ có chiều cao bằng đường kính đáy, hai đáy là các hình tròn $\left(O;r\right)$ và $\left(O\text{'};r\right)$. Gọi A là điểm di động trên đường tròn $\left(O;r\right)$v à B là điểm di động trên đường tròn $\left(O\text{'};r\right)$ sao cho AB không là đường sinh của hình trụ $\left(T\right)$. Khi thể tích khối tứ diện $OO\text{'}AB$ đạt giá trị lớn nhất thì đoạn thẳng AB có độ dài bằng

Cho khối nón có bán kính đáy bằng r và độ dài đường sinh bằng 3 lần bán kính đáy. Thể tích của khối nón đã cho bằng

Giả sử rằng f là hàm số liên tục và thỏa mãn $3x^5+96={\int }_c^{x}f\left(t\right)dt$ với mỗi $x\in \mathrm{ℝ}$, trong đó c là một hằng số. Giá trị của c thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Biết rằng $4^a=x$ và ${16}^b=y$. Khi đó xy bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=27$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}$. Mặt phẳng  chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu $\left(S\right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Nếu phương trình của $\left(P\right)$ là $ax+by-z+c=0$ thì

Nghiệm của phương trình ${\log }_{2019}\left(x-5\right)=13$ là

Cho $f\left(x\right)$ là hàm đa thức thỏa mãn $f\left(x\right)-xf\left(1-x\right)=x^4-5x^3+12x^2-4\forall x\in \mathrm{ℝ}$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên tập $D=\left\{x\in \mathrm{ℝ}|x^4-10x^2+9\le 0\right\}$. Giá trị của $21m+6M+2019$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left(-3;9;6\right)$. Gọi $M_1, M_2, M_3$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Mặt phẳng $M_1{M}_2{M}_3$ có phương trình là

Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y=\frac{\left(2x^2+x\right)\sin x-\left(x-1\right)\cos x}{x\sin x+\cos x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$ và $x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$. Biết rằng diện tích của hình phẳng D bằng $\frac{{\mathrm{\pi }}^2+4\mathrm{\pi }}{16}+a\ln 2+b\ln \left(\mathrm{\pi }+4\right)$, với a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Biết rằng khối tứ diện đều cạnh bằng k thì có thể tích bằng $\frac{\sqrt{2}{k}^3}{12}$. Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có cạnh bằng $a\sqrt{2}$. Tính theo a thể tích khối tứ diện $ACB\text{'}D\text{'}$ .

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-9x^4-5x^2$ với trục hoành là

Tìm các số thực p và q thỏa mãn $3p+\left(2q-3i\right)=9-8i$ với i là đơn vị ảo.

Cho hàm số $g\left(x\right)=2x^3+x^2-8x+7$. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình $\sqrt{g\left(g\left(x\right)-3\right)+m}=2g\left(x\right)-5$ có 6 nghiệm thực phân biệt?

Cho d là đường thẳng đi qua điểm $A\left(-1;3\right)$ và có hệ số góc m. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số $y=x^3-3x+1$ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị  tại B và C cắt nhau tại điểm I nằm trên đường tròn đường kính BC. Tính tổng bình phương các phần tử thuộc tập hợp S.