Cho hình hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có $\angle BAD=\angle BAA\text{'}=\angle DAA\text{'}={60}^0, AB=AD=AA\text{'}=a$ . Đường thẳng AC’ cắt các mặt phẳng $\left(A\text{'}BD\right)$ và $\left(CB\text{'}D\text{'}\right)$ lần lượt tại M và N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

Cho tứ diện ABCD. Gọi $A\text{'}, B\text{'},C\text{'}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD. Đặt $\overrightarrow{AA\text{'}}=\overrightarrow{a, }\overrightarrow{BB\text{'}}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{c}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho 3 điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vecto mà có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm có hoành độ khác 0, thuộc đồ thị (C) của hàm số $y=x^3-3x$. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thức hai là N (N khác M). Kí hiệu $x_M, x_N$ lần lượt là hoành độ của M và N. Kết luận nào sau đây đúng?

Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau không cắt trục tung?

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi E là trọng tâm tam giác BCD và F là trung điểm của AE. Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên đường thẳng AD. Đường thẳng FH cắt mặt phẳng (ABC) tại điểm M. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho mặt cầu $\left(S\right): x^{2 }+y^2+z^2-4x+2y-6z+5=0$ và mặt phẳng $\left(P\right): 2x+2y-z+16=0$. Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Độ dài ngắn nhất của đoạn MN là

Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước?

Trong không gian, cho tam giác ACB vuông tại $A, AB=a, AC=a\sqrt{3}$. Tính diện tích S của mặt cầu, nhận được khi quay đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC quanh trục BC.

Cho hình nón đỉnh O, chiều cao h. Một khối nón (N) có đỉnh và đáy lần lượt là tâm của đáy và một thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Để thể tích của khối nón (N) lớn nhất thì chiều cao của khối nón này bằng bao nhiêu?

Một chất chuyển động theo quy luật $s=6t^2-t^3$ (trong đó t là khoảng thừi gian tính bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động). Tính thời điểm t(giây) mà tại đó vận tốc (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB. Biết rằng AB= 2a, AD = DC = CB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBD) tạo với đáy một góc ${45}^0$ Gọi O là trung điểm AB. Tính khoảng cách d từ điểm O đến mặt phẳng (SBD).

$z=1+i$ không là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?

Tìm số nghiệm của phương trình $5^{\frac{1}{2^x}}$ = 625

Tìm số phức z, biết $z^2-4\left(1+i\right)z-5-4i=0$ 

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(-4;-5;3) và cắt cả hai đường thẳng $d_1: \frac{x+1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-2}{-1}$ và $d_2: \frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-5}$