Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  $∆:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-3=0$.  Gọi I là giao điểm của $∆ và \left(P\right)$. Biết rằng tồn tại điểm $M\left(a;b;c\right)$ thuộc $\left(P\right)$, có hoành độ dương sao cho MI vuông góc với $∆$ và $MI=4\sqrt{14}$.Giá trị của biểu thức $2a+3b-c$ bằng

Trong 2019 điểm phân biệt cho trước, có bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$ với điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 2019 điểm đã cho?

Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là các đỉnh của

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;4;2\right), B\left(-1;2;4\right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{2}$. Biết rằng tồn tại điểm$M\left(a;b;c\right)\in d$ sao cho $M{A}^2+M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $2a-b+c$ bằng

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=-x^3+3\left(m-1\right)x^2+3\left(4m-9\right)x-1$ đạt cực trị tại các điểm lớn hơn -1 là

Cắt khối cầu $S\left(I;R\right)$ bởi mặt phẳng $\left(P\right)$ cách I một khoảng $\frac{R\sqrt{3}}{2}$ ta thu được thiết diện là hình tròn có diện tích bằng bao nhiêu?

Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 1. Gọi I là trung điểm của cạnh SA và J là điểm thuộc cạnh SB sao cho SJ=2JB. Mặt phẳng chứa IJ và song song với SC cắt các cạnh BC, CA lần lượt tại K và L. Thể tích khối đa diện SCLKJI bằng

Biết rằng phương trình $a{x}^3+21x^2+6x+2019=0$ có ba nghiệm thực phân biệt (a là tham số). Phương trình $4\left(a{x}^3+21x^2+6x+2019\right)\left(3ax+21\right)=9{\left(a{x}^2+14x+2\right)}^2$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{2i}-\overrightarrow{3k}$ và $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{5j}+\overrightarrow{3k}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho số phức z thỏa mãn $\left(1-2i\right)z-7=i$. Môđun của z bằng 

Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 750 chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang ABCD vuông tại A và D quanh trục AD (xem hình minh họa). Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao bằng 7,2 cm, đường kính miệng cốc bằng 6,4cm và đường kính đáy cốc bằng 1,6cm. Kem được đổ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình cầu có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Biết rằng $1d{m}^3$ kem nguyên liệu có giá 62.000 đồng. Hỏi số tiền mà cơ sở đó phải thanh toán tiền kem nguyên liệu để sản xuất 750 chiếc gần với giá trị nào dưới dây nhất? (Lấy $\mathrm{\pi }\approx 3,14$).

Cho khối hợp chữ nhật $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có $AB=2B\text{'}C\text{'}=2a và AC\text{'}=3a$. Thể tích khối hộp đã cho bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left(\frac{59}{9};-\frac{32}{9};\frac{2}{9}\right)$ và mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=25$. Từ điểm M kẻ các tiếp tuyến bất kỳ MA, MB, MC đến mặt cầu (S), trong đó A, B, C, D là các tiếp điểm. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất bằng

Cho các số thực dương p,q thỏa mãn $16{\ln }^{2}p +\hspace{0.17em}25{\ln }^{2}q=40\ln p.\ln q$. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

Với các số thực dụng a và b tùy ý,  $\ln \left(\frac{a^3}{b^5}\right)$ bằng

Đội thanh niên xung kích của một trường trung học phổ thông có 15 học sinh, gồm 4 học sinh khối 10, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 12. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong đội xung kích để làm nhiệm vụ trực tuần. Tính xác suất để chọn được 4 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh.