Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tọa độ điểm M' là hình chiếu vuông góc của điểm $M\left(2;3;1\right)$ lên mặt phẳng $\left(\alpha \right): x-2y+z=0$

Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc $B_1$, đựng cao Sao vàng và đựng “Quy sâm đại bổ hoàn”. Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau

- Cách thứ nhất cắt được 3 hộp $B_1$, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm

- Cách thứ hai cắt được 2 hộp $B_1$, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp $B_1$ tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao Sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O; mặt phẳng $\left(SAC\right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left(SBD\right)$. Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left(SAB\right), \left(SBC\right), \left(SCD\right)$ lần lượt là 1;2;$\sqrt{5}$. Tính khảng cách d từ O đến mặt phẳng $\left(SAD\right)$

Một gia đình cần ít nhất 900 đoen vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogram thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogram thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền của một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính $x^2+y^2$

Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại vitamin A và B đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A. Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng

Giá trị tham số thực k nào sau đây để đồ thị hàm số $y=x^3-3k{x}^2+4$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right), SA=5, AB=3, BC=4$. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A và sản phẩm B trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm A lãi 4 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm B lãi được 3 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy II trong 3 giờ, máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động không quá 23 giờ và máy III hoạt động không quá 27 giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất

Phương trình $2^{2x^2+5x+4}=4$ có tổng tất cả các nghiệm bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\left|3x^4-4x^3-12x^2+m\right|$ có 5 điểm cực trị

Tập nghiệm của bất phương trình $3.9^x-10.3^x+3\le 0$ có dạng $S=\left[a;b\right]$ trong đó a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức $5b-2a$ bằng

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn ${\log }_3\left(2u_5-63\right)=2{\log }_4\left(u_n-8n+8\right), \forall n\in N*$. Đặt $S_n=u_1+u_2+...+u_n$. Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn $\frac{u_n.S_{2n}}{u_{2n}.S_n}<\frac{148}{75}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp $S.ABCD$ với $S\left(1;-1;6\right), A\left(1;2;3\right), B\left(3;1;2\right), D\left(2;3;4\right)$. Gọi I là tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng (SAD)

Cho hàm số $y=\left|x^3-3mx+2\right|$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m<2019$ để hàm số có nhiều điểm cực trị nhất?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\ln \left({u_1}^2+{u_2}^2+10\right)=\ln \left(2u_1+6u_2\right)$ và $u_{n+2}+u_n=2u_{n+1}+1$ với mọi $n\ge 1$. Giá trị nhỏ nhất của n để $u_n>5050$ bằng

Hàm số $y=x^{2019}$ nghịch biến trên khoảng nào?