Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp mp\left(ABC\right), SA=\frac{4a}{5}, AB=AC=a, BC=\frac{6a}{5}$. Gọi M là trung điểm của BC và $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng AC, SM. Tính $\cos \alpha$

Cho tấm tôn hình chữ nhật có kích thước $80cmx50cm$. Người ta cắt ở bốn góc của tấm tôn đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x\left(cm\right)$ rồi gập tấm tôn lại để được một cái thùng không nắp (tham khảo hình vẽ). Tìm  để thùng có thể tích lớn nhất.

Trong không gian Oxyz, cho ba véc tơ $\overrightarrow{a}\left(5;7;2\right), \overrightarrow{b}\left(3;0;4\right), \overrightarrow{c}\left(-6;1;-1\right)$. Hãy tìm véc tơ $\overrightarrow{n}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Cho khối tứ diện ABCD có $AB=x$, tất cả các cạnh còn lại bằng 2. Thể tích khối tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng

Cho hình chóp A.BCD có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CD. Cắt hình chóp bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với AB và CD. Tính diện tích S của thiết diện thu được, biết $d\left(B;\left(\alpha \right)\right)=\frac{a}{2} và AB=a\sqrt{2}$

Một đoàn tàu có 3 toa chở khách đỗ ở sân ga. Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Có 4 vị khách từ sân ga lên tàu, họ không quen biết nhau, mỗi người chọn ngẫu nhiêu 1 toa. Tính xác suất P để 1 trong 3 toa đó có 3 trong 4 vị khách nói trên

Phương trình $4^x-2^{x+1}+2\left(2^x-1\right)\sin \left(2^x+y-1\right)+2=0$ có nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x=a\\ y=b\end{array}\right.$. Tính $S=a+b$

Họ nguyên hàm của hàm $f\left(x\right)=e^{2x}-\frac{1}{x}+\ln x\left(x>0\right)$ là

Xét các số phức z thỏa mãn $\left|z+1+2i\right|+\left|z-2-4i\right|=\sqrt{13}$. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $\left|z+1-i\right|$. Tổng $m+M$ bằng

Tập xác định của hàm số $y={\log }_{\frac{1}{5}}\frac{3x+2}{1-x}$ là

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC trong đó $A\left(1;0;-2\right), B\left(2;1;-1\right), C\left(1;-2;2\right)$. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Cho biết 3 số hạng đầu của khai triển ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}^n$ có các hệ số là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển trên.

Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{2-x}{x-1}$. Tìm tọa độ của I

Cho khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $45°$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, $AB=a, ABC=60°$.  Quay tam giác đó một vòng xung quanh BC, ta được một hình tròn xoay. Diện tích xung quanh của hình tròn xoay đó bằng

Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ ?