Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy R, chiều cao $R\sqrt{2}$. Mặt phẳng (P) đi qua OO' cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?

Tìm m để hàm số $y=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)-mx+3$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Cho nửa đường tròn đường kính AB, điểm C nằm trên nửa đường tròn này sao cho góc BAC bằng $30°$, đồng thời cho nửa đường tròn đường kính AD (xem hình vẽ). Tính thểt ích V của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB, biết rằng $AB=2AD$ và nửa hình tròn đường kính AB có diện tích bằng $32\mathrm{\pi }$.

Giả sử đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^x}{\ln 2}$ cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (C) tại A cắt trục hoành tại B. Tính diện tích S của tam giác AOB.

Một cấp số cộng và một cấp số nhân có cùng các số hạng thứ $m+1$, thứ $n+1$, thứ $p+1$ là 3 số dương a, b, c. Tính $T=a^{b-c}.b^{c-a}.c^{a-b}$

Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng $\left(P\right): 3x+12y-3z-5=0, \left(Q\right): 3x-4y+9z+7=0$ và đồng thời cắt cả hai đường thẳng $d_1:\frac{x+5}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z+1}{3}, d_2: \frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}$ có phương trình là

Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng nào dưới đây?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình dưới đây có nghiệm thực ?

$m+\cos x\sqrt{{\cos }^{2}x+2}+2\cos x+\left(\cos x+m\right)\sqrt{{\left(\cos x+m\right)}^2+2}=0$

Cho biết ${\int }_1^3\frac{dx}{e^x-1}=a\ln \left(e^2+e+1\right)-2b$ với a, b là các số nguyên. Tính $K = a+b$

Biết ${\int }_1^e\frac{\sqrt{1+3\ln x}.\ln x}{x}dx=\frac{a}{b}$; trong đó a, b là 2 số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ?

Đường thẳng đi qua $M\left(2;0;-3\right)$ và song song với đường thẳng $\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{3}=\frac{z}{4}$ có phương trình là

Tọa độ tậm của mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2-10x+2y+26z+170=0$ là

Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của $B{B}_1, CD, A_1{D}_1$. Góc giữa hai đường thẳng MP và $C_{1}N$ bằng

Cho hàm $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[0;\mathrm{\pi }\right], f\left(0\right)=\mathrm{\pi }, {\int }_0^{\mathrm{\pi }}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=3\mathrm{\pi }$. Tính $f\left(\mathrm{\pi }\right)$

Cho hàm số $y=x^3-3x+1$ có đồ thị là hình vẽ bên. Tìm m để phương trình $\left|x^3-3x+1\right|=m$ có 6 nghiệm thực phân biệt