Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): x + 2y – 3z – 4= 0 có một vectơ pháp tuyến là

Hình chóp S.ABC có SA=3a và $SA\perp \left(ABC\right)$, AB=BC=2a, $\widehat{ABC}={120}^{\circ }$. Thể tích của khối chóp S.ABC là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB là tam giác cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 45 độ, góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SA bằng $a\sqrt{6}$

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\left(d_1\right):\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$, $\left(d_2\right):\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng (P): x +2y +3z -5 =0. Đường thẳng vuông góc với (P), cắt cả $\left(d_1\right) và \left(d_2\right)$ có phương trình là

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng $2\pi a^2$ và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường cao của hình trụ đó bằng

Một ô tô bắt đầu chuyển động với vận tốc $v\left(t\right)=a{t}^2+bt$ với t tính bằng giây và v tính bằng mét/giây, sau 10 giây thì đạt vận tốc cao nhất v =50 và giữ nguyên vận tốc đó, có đồ thị vận tốc như hình sau.

Tính quãng đường s ô tô đi được trong 20 giây ban đầu.

Với a > 0, a ≠ 1 ${\log }_2\left(2a\right)$ bằng

Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, $\widehat{IOM}={30}^{\circ }$_, IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh OI thì tạo thành một hình nón tròn xoay. Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo thành.

Xét các số phức z, w thỏa |z-1-3i| ≤ |z+2i| và |w+1+3i| ≤ |w-2i|. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z-w| là

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt cầu $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$ có phương trình lần lượt là ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=16$ và ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=4$. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$. Khoảng cách lớn nhất từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng bằng:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ϵ (-15;15) sao cho hàm số $y=\frac{\tan x-10}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng (0;π/4)?

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-1\right|=\sqrt{2}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức T=|z+i|+|z-2-i| bằng

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=2$ và công sai d=5.Giá trị của $S_4$ bằng.

Biết rằng ${\int }_1^2\frac{4dx}{\left(x+4\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}-d$. Lúc đó giá trị T=a + b + c +d bằng:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ϵ [-6;8] để phương trình ${\log }_{\frac{3}{2}}\left|x-2\right|-{\log }_{\frac{2}{3}}\left(x+1\right)=m$ có ba nghiệm phân biệt?

Trong một cuộc thi pha chế, hai đội chơi A, B được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Đội A pha chế được a lít nước cam và b lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số a-b là