Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ . Gọi $xF\left(x\right),G\left(x\right)$  là hai nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$  thỏa mãn $3F\left(1\right)+G\left(0\right)=6$  và $F\left(1\right)-G\left(1\right)=6$ .

Tính $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2x.f\left({\cos }^{2}x\right)\text{d}x$ .

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn ${\log }_2\left(8x^2\right)+{\log }_3\left(3x^3\right)\ge {\log }_{2}x.{\log }_{3}x$ ?

Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left|z+2w\right|=1$  và $\left|3z-w\right|=2$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=7\left|z+w\right|+\left|z+9w\right|$ . Tính giá trị của $M^2-m^2$ .

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2+az+b=0$  (a, b là các số thực). Có bao nhiêu cặp số (a,b) để phương trình đó có hai nghiệm $z_1,z_2$  thỏa mãn $z_1-3=\left(1-\left|z_2\right|\right)i$ ?

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ , tính đạo hàm của hàm số $y=x^{\frac{5}{3}}$ .

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’, biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (B’AC) bằng $\frac{6a}{13}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Cho hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\left|2f\left(\ln x\right)-{\ln }^{2}x+1-m\right|$  nghịch biến trên $\left(1;e\right)$ , biết $f\left(1\right)=2$ ?

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f^2\left(x\right)-mf\left(x\right)$  có đúng 5 điểm cực trị?

Cho khối nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng $120°$ . Một mặt phẳng (P) đi qua S, cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 4. Tính thể tích V của khối nón (N).

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-1}$ . Hai điểm M, N thay đổi, lần lượt nằm trên các mặt phẳng $\left(P\right):x-2=0$ , $\left(Q\right):z-2=0$  sao cho trung điểm K của đoạn thẳng MN luôn thuộc đường thẳng $\Delta$ . Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN thuộc khoảng nào dưới đây?

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

${\log }_3\left(5-\left|x\right|+2\left|y\right|\right)+2{\log }_2\left(5-\left|x\right|\right)+3\ge {\log }_3\left|y\right|+{\log }_2{\left(5-\left|x\right|+3\left|y\right|\right)}^2$?

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B,AB=a\sqrt{3}$ , $BC=a$  và $A{A}^{\text{'}}=2a\sqrt{3}$  (tham khảo hình vẽ).

Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình f’(f(x) + 3) = 0.

Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3 và chiều cao h = 4. Tính thể tích của khối chóp đã cho.