Tổng $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^n}+\mathrm{...}$ có giá trị là

Đạo hàm của hàm số $y=x+{\ln }^{2}x$ là

Hàm số $f\left(x\right)=\frac{\cos x}{{\sin }^{5}x}$ có một nguyên hàm $F\left(x\right)$ bằng

Tập nghiệm S của bất phương trình $5^{x+2}<{\left(\frac{1}{25}\right)}^{-x}$ là

Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước (không nắp) bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật chiều dài $d\left(m\right)$ và chiều rộng $r\left(m\right)$ với $d=2r$ . Chiều cao bể nước là $h\left(m\right)$ và thể tích bể là $2\left(m^3\right)$. Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu thì chi phí xây dựng là thấp nhất?

Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-4x^2+9x-11$. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left(-4;9;-9\right),B\left(2;12;-2\right)$ và $C\left(-m-2;1-m;m+5\right)$. Tìm giá trị của m  để tam giác ABC vuông tại B.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-z+5=0$ tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=24$ tại điểm $M\left(a;b;c\right)$. Tính giá trị biểu thức $T=a+b+c$.

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AA' và BB' , đường thẳng CE cắt đường thẳng C'A' tại E', đường thẳng CF cắt đường thẳng C'B' tại F'. Thể tích khối đa diện EFB'A'E'F bằng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[0;1\right]$ và thỏa mãn $f\left(x\right)=6x^{2}f\left(x^3\right)-\frac{6}{\sqrt{3x+1}}$. Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Một hình trụ có thể tích $16\pi c{m}^3$ . Khi đó bán kính đáy R bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất?

Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z=\left(1+i\right)+{\left(1+i\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(1+i\right)}^{10}$.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B'C'. Mặt phẳng (A'MN) cắt cạnh BC tại P. Tính thể tích của khối đa diện MBPA'B'N.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua M(1;4;3) và vuông góc với trục Oy có phương trình là

Cho ${\log }_{5}2=m,{\log }_{3}5=n$. Tính $A={\log }_{25}2000+{\log }_{9}675$ theo $m,n$.

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=4x^3-\frac{1}{x^2}$ là