Cho hai số thực dương x, y thõa mãn điều kiện $2xy+{\log }_2{\left(xy+x\right)}^x=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=2x^2+y$

Biết ${\int }_0^1\frac{\left(x^2+5x+6\right)e^x}{x+2+e^{-x}}dx=a.e-b-\ln \frac{a.e+c}{3}$ với a, b, c là các số nguyên tố và e là cơ số của logarit tự nhiên. Tính $S=2a+b+c$.

Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương, anh A đều phải cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu, biết rằng anh A được gia đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe?

Xét hai số phức $z_1, z_2$ thay đổi thõa mãn $\left|z_1-z_2\right|=\left|z_1+z_2+4-2i\right|=2$. Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2$. Gía trị của AB là

Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2-4x+4$, đường cong $y=x^3$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình (H)

Cho khối trụ tam giác $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy là tam giác vuông cân với cạnh huyền $AB=\sqrt{2}$. Mặt phẳng (AA'B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), $AA\text{'}=\sqrt{3}$, góc A'AB nhọn và mặt phẳng (A'AC) tạo với (ABC) một góc $60°$. Thể tích khối lăng trụ  bằng

Cho hai số phức $z_1, z_2$ có điểm biểu diễn lần lượt là $M_1, M_2$ cùng thuộc đường tròn có phương trình $x^2+y^2=1$ và $\left|z_1-z_2\right|=1$. Tính giá trị biểu thức $P=\left|z_1+z_2\right|$

Gọi $z_0$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^2-6z+13=0$. Tính $\left|z_0+1-i\right|$

Cho số phức $z=6+7i$. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn hình học là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):x+y-4z=0$, đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{1}$ và điểm A(1;3;1) thuộc mặt phẳng (P). Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và cách d một khoảng cách lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{u}=\left(1;b;c\right)$ là một vecto chỉ phương của đường thẳng $∆$. Tính b+c

Cho số phức z thõa mãn $\left|z-3-4i\right|=\sqrt{5}$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\left|z+2\right|}^2-{\left|z-i\right|}^2$. Tính $S=M^2+m^2$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2+2x-6y-6=0$. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d tương ứng có phương trình là $2x-y+3z-3=0$ và $\frac{x+1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1}$. Biết đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm M. Gọi N là điểm thuộc d sao cho $MN=3$ , gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm N trên mặt phẳng (P). Tính độ dài đoạn MK.

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại O, $OA=OB=2a, \widehat{AOB}=120°$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại O lấy hai điểm C, D nằm về hai phía của mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thõa mãn ${\ln }^2{u}_6-\ln u_8=\ln u_4-1$ và $u_{n+1}=u_n.e$ với mọi $n\ge 1$. Tìm $u_1$

Cho tứ diện ABCD có CD = 3. Hai tam giác ACD, BCD có diện tích lần lượt là 15 và 10. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 20. Tính côtang của góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).