Cho ba hình cầu tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với một mặt phẳng. Các tiếp điểm của các hình cầu trên mặt phẳng lập thành một tam giác có các cạnh lần lượt là 4; 2 và 3. Tính tổng bán kính của ba hình cầu trên

Hãng pha lê nổi tiếng Swarovski của Áo dự định thiết kế một viên pha lê hình cầu và đặt vào bên trong nó 7 viên ruby hình cầu nhỏ hơn, trong đó viên ruby ở chính giữa có tâm trùng với tâm của viên pha lê và tiếp xúc với 6 viên ruby còn lại, 6 viên ruby còn lại có kích thước bằng nhau và nằm ở các vị trí đối xứng nhau (qua tâm của viên pha lê) và tiếp xúc với viên pha lê (như hình vẽ). Biết viên pha lê có đường kính 10 cm và hãng này muốn thiết kế sao cho tổng thể tích các viên ruby bên trong là nhỏ nhất để tiết kiệm được lượng ruby. Khi đó bán kính của viên ruby ở giữa mà hãng pha lê cần thiết kế gần giá trị nào nhất sau đây?

Với n là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^1+C_n^2=78$, hệ số của $x^4$ trong khai triển biểu thức ${\left(x^2-x+2\right)}^n$ bằng bao nhiêu?

Đồ thị hàm số $y=-x^4+2x^2-1$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn ${\left|z\right|}^2-iz=\left(1+2i\right).\overline{z}$. Biết $\text{w}=5z-4i$, khi đó $w^{2019}$ có đáp số nào sau đây?

Cho phương trình ${\log }_2\left(m{x}^3-5m{x}^2+\sqrt{6-x}\right)={\log }_{2+m}\left(3-\sqrt{x-1}\right)$
Với mọi số thực m không âm phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm chung?

Một vật chuyển động trong 5 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có đỉnh I(2;8) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là những đoạn thẳng (như hình vẽ). Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 5 giờ đó.

Cho số phức z có phần ảo hơn phần thực 1 đơn vị $z^2$ là số thuần ảo. Khi đó môđun của z là

Hỏi hàm số $y=f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\mathrm{...}\left(x-2020\right)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Gọi D là tập xác định của hàm số $y=\frac{\sqrt{1-\ln x}}{{\left(x-1\right)}^{\frac{3}{2}}+1}$. Khi đó tập D là

Biết d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-7x+1$ và d song song với đường thẳng $\Delta :2x-y+6=0$. Khi đó phương trình d có dạng $y=ax+b$. Hỏi tống a+b bằng

Gọi S là tập các số có 7 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để khi rút một số từ tập S ta được số mà các chữ số 3; 4; 5 đứng liền nhau và cả các chữ số 6; 9 đứng liền nhau.

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ thỏa mãn $f\left(x^3+1\right)=2x-1,\forall x\in ℝ$. Tính tích phân $I={\int }_0^{2}f\left(x\right)dx.$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(2;-1;2), C(-2;3;2), B'(1;2;1), D'(3;0;1). Khi đó tọa độ điểm B là

Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số $y=x+m\sqrt{x^2+x+1}$ có đường tiệm cận ngang?

Hình nón có bán kính đáy r = 3 cm và đường sinh l = 4 cm. Khi đó diện tích toàn phần $S_{tp}$ của hình nón là