Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,cho ba điểm $\mathrm{A}\left(1;2;0\right),\mathrm{B}\left(-1;-2;3\right),\mathrm{C}\left(3;-4;-1\right)$. Gọi $\mathrm{H}\left(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right)$ là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}$ nhận giá trị nào sau đây?

Tập xác định của hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{\ln \left(\mathrm{x}-1\right)+1}$ là

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-3\mathrm{x}-2$. Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây?

Phương trình ${\mathrm{z}}^2+\mathrm{az}+\mathrm{b}=0,\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\in \mathrm{ℝ}\right)$ có một nghiệm phức là $\mathrm{z}=1+2\mathrm{i}$. Khi đó tổng $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ bằng

Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng 2R và thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB có góc ASB bằng ${60}^{\mathrm{o}}$. Tính thể tích và diện tích xung quanh của khối nón.

Người ta muốn thiết kế một bế cá bằng kính không có nắp với thể tích là $80{\mathrm{dm}}^3$ và chiều cao là 4dm. Đặt một vách ngăn có cùng bán kính ở giữa, chia bể thành hai ngăn, với các kích thước là x,y (dm) như hình vẽ. Tính x,y đế bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ngăn ở giữa), coi bề dày các tâm kính là như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể.

Với các số thực dương x,y bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Tô màu các cạnh của hình vuông ABCD bởi 6 màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô?

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và $\mathrm{SA}=\mathrm{SB}=\mathrm{SC}=\mathrm{a}.$ Gọi B′,C′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên AB,AC. Tính thể tích hình chóp S.AB′C′.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $\mathrm{a}, \mathrm{SA}=\mathrm{h}$ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là điểm thay đổi trên cạnh CD. Kẻ SH vuông góc với BM tại H. Thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất là

Cho hai cấp số cộng $\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right):{\mathrm{a}}_1=4,{\mathrm{a}}_2=7,...,{\mathrm{a}}_{100}$ và $\left({\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\right):{\mathrm{b}}_1=1,{\mathrm{b}}_2=6,...,{\mathrm{b}}_{100}$. Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên?

Cho khối tứ diện ABCD đều cạnh a, M là trung điểm của DC. Tính thể tích của khối chóp M.ABC.

Rút gọn biểu thức $\mathrm{P}=\frac{\sqrt[6]{\mathrm{a}}-\sqrt[6]{\mathrm{b}}}{\sqrt[3]{\mathrm{a}}.{\mathrm{b}}^{\frac{1}{2}}-\sqrt[3]{\mathrm{b}}.{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}$, (với $\mathrm{a},\mathrm{b}>0$)

Cho $\mathrm{a}={\log }_{3}18$. Tính ${\log }_{4}27$ theo a.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và ${\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)>0,\forall \mathrm{x}>0$. Biết $\mathrm{f}\left(0\right)=2$. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{5-\mathrm{msinx}-\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}}$ xác định trên R?