Biểu thức ${\log }_{\mathrm{a}}\frac{2}{3}>{\log }_{\mathrm{a}}\frac{3}{4}$ xảy ra khi và chỉ khi

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, tam giác SAB vuông cân tại S. Biết $\mathrm{SH}=\mathrm{a},\mathrm{CH}=\sqrt{3}\mathrm{a}.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và CH.

Một hộp chứa 13 quả cầu gồm 6 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng

Cho hình phẳng A giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=x^2$ và $\mathrm{y}=6-\left|\mathrm{x}\right|.$ Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A xung quanh trục tung là

Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 200m3. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 600.000 đồng/m2. Hãy xác định kích thước của hồ nước để chi phí thuê nhân công là thấp nhất. Chi phí đó là

Cho tập hợp A gồm n phần tử ($\mathrm{n}\ge 4$) , biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ($1\le \mathrm{k}\le \mathrm{n}$) sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất

Cho cấp số cộng $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ có công sai d >0; $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_{31}+{\mathrm{u}}_{34}=11\\ {\mathrm{u}}_{31}^2+{\mathrm{u}}_{34}^2=101\end{array}\right.$. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó

Cho $4^{\mathrm{x}}+4^{-\mathrm{x}}=34.$ Khi đó biểu thức $\mathrm{K}=\frac{6+2^{\mathrm{x}}+2^{-\mathrm{x}}}{2-2^{\mathrm{x}}-2^{-\mathrm{x}}}$ có giá trị bằng

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{mx}}{\mathrm{x}-2}\left(\mathrm{C}\right)$ cắt đường thẳng $\mathrm{y}=\mathrm{mx}-3$ tại hai điểm phân biệt.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình $\cos 2\mathrm{x}+\mathrm{m}\left|\mathrm{sinx}\right|-\mathrm{m}=0$ có nghiệm?

Cho số phức z thỏa mãn $\left|\mathrm{z}-1-\mathrm{i}\right|=2$. Chọn phát biểu đúng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{mx}}^2+1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}$ trên tập xác định. Khi đó ${\mathrm{M}}^2+{\mathrm{m}}^2$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc A bằng ${60}^o,$ O là tâm hình thoi, SA vuông góc với đáy. Góc giữa SO và mặt phẳng đáy bằng ${45}^{\mathrm{o}}.$ Tính theo a thể tích khối chóp SABCD.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1;3;−2), B(0;1;1) và mặt phẳng $\left(\mathrm{P}\right): 2\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}+1=0.$ Gọi M (a;b;c) là điểm trên (P) sao cho MA+MB nhỏ nhất. Giá trị của a – b − c.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{yi},\mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathrm{ℝ}$ điểm biểu diễn số phức liên hợp của z bằng cách