Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn với (E; F là tiếp điểm). Đoạn OM cắt đường tròn (O; R) tại I. Kẻ đường kính ED của (O; R). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Cho FK = 4cm. Khi đó:

Đáp án A

* Vì ME là tiếp tuyến của (O) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)

Vì MF là tiếp tuyến của (O) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)

Từ (1) và (2) suy ra M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.

* Gọi MO $\cap$ EF = {H}

Vì M là giao điểm của hai tiếp tuyến ME và MF của (O)

$\Rightarrow$ ME = MF (tính chất) mà OE = OF = R (gt)

$\Rightarrow$ MO là đường trung trực của EF

$\Rightarrow$ MO $\perp$ EF

Gọi G là giao điểm của tia DF và tia EM

Ta có $\widehat{EFD} = {90}^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow$ EF $\perp$ DG mà

EF $\perp$ OM (cmt) $\Rightarrow$ OM // DG (từ vuông góc đến song song)

Tam giác EDG có OE = OD; OM // DG $\Rightarrow$ ME = MG (tính chất đường trung bình)

Áp dụng định lý Ta-lét cho tam giác EDM có OK // ME (cùng vuông góc với ED) ta được: $\frac{PK}{ME}=\frac{DP}{DM}$ (3)

Áp dụng định lý Ta-lét cho tam giác MDG có PF// MG (cùng vuông góc với ED) ta được: $\frac{PF}{MG}=\frac{DP}{DM}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{PK}{ME}=\frac{PF}{MG}$ mà ME = MG (cmt)

$\Rightarrow$ PK = PF $\Rightarrow$ P là trung điểm của FK. Suy ra $FP = PK =\frac{4}{2}= 2cm$