Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-1;3) và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-4}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-1}{-2}$; $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{1}\cdot$ Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với d₁ và cắt d₂.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ACB}=30°$, biết góc giữa B’C và mặt phẳng (ACC’A’) bằng α thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{1}{2\sqrt{5}}$. Cho khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và CC’ bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C.

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và thỏa mãn $f\left(0\right)=1$, ${\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^3=e^x{\left(f\left(x\right)\right)}^2,\forall x\in ℝ$.

Tính f(3)

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R và hàm số y=f’(x) có đồ thị như hình bên. Biết rằng f’(x)<0 với mọi $x\in \left(-\infty ;-3,4\right)\cup \left(9;+\infty \right).$ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)-mx+5$ có đúng hai điểm cực trị.

Cho hai hàm số f(x), g(x) có đạo hàm liên tục trên R. Xét các mệnh đề sau

1)$k.\int f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=\int k.f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$, với k là hằng số thực bất kì.

2) $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{\hspace{0.17em}d}x=\int f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x+\int g\left(x\right)\text{d}x$.

3) $\int \left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]\text{\hspace{0.17em}d}x=\int f\left(x\right)\text{d}x.\int g\left(x\right)\text{d}x.$

4) $\int f^{\text{'}}\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x+\int f\left(x\right)g^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=f\left(x\right)g\left(x\right)$.

Tổng số mệnh đề đúng là:

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3^{2x}$

Cho Parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường tròn (C) có tâm A(0;3), bán kính $\sqrt{5}$ như hình vẽ. Diện tích phần được tô đậm giữa (C) và (P) gần nhất với số nào dưới đây?

Cho a là số thực dương tùy ý, $\sqrt[4]{a^3}$ bằng

Cho khối nón có chiều cao bằng 2a và bán kính đáy bằng a. Thể tích của khối nón đã cho bằng

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{2x-2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho số phức z = a+(a-5)i với $a\in ℝ$. Tìm a để điểm biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.

Có 13 học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối 12 có 8 học sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2\left(x+3\right)\left(x^2+2mx+5\right)$ với mọi $x\in ℝ$. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f\left(\left|x\right|\right)$ có đúng một điểm cực trị

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Giá trị cực đại của hàm số bằng

Biết rằng đồ thị cho ở hình vẽ dưới đây là đồ thị của một trong 4 hàm số cho trong 4 phương án A,B,C,D. Đó là đồ thị hàm số nào?

Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$?