Cho hình chóp $S.ABCD$  có đáy $ABCD$  là hình bình hành. Gọi $M,N$  lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC$ . Điểm I thuộc $SA$ . Biết mặt phẳng $\left(MNI\right)$  chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng $\frac{7}{13}$  lần phần còn lại. Tính tỉ số $k=\frac{IA}{IS}$ ?

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2+1.$  Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=|f(\sin x+\sqrt{3}\cos x)+m|$  có giá trị nhỏ nhất không vượt quá 5?

Cho hàm số  có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị hàm số  như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số  và các mệnh đề sau:

I. Hàm số  có 3 điểm cực trị.

II. Hàm số  đạt cực tiểu tại

III. Hàm số  đạt cực đại tại

IV. Hàm số  đồng biến trên khoảng

V. Hàm số  nghịch biến trên khoảng

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

Tìm m để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-m{x}^2+(m^2-m+1)x+1$  đạt cực đại tại $x=1.$

Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6.

Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$  có đồ thị như hình vẽ bên.

Cho hình chóp $S.ABCD$  có đáy  là hình vuông cạnh 2a cạnh bên $SA=a\sqrt{5},$  mặt bên $SAB$  là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số $y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)x+2$  đồng biến trên khoảng $(2;+\infty ).$  Số phần tử của S bằng:

Tính thể tích V của khối lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}.$  Biết $A{C}^{\text{'}}=a\sqrt{3}.$

Trong bài thi thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua một sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia 100m.

Xếp 10 quyển sách tham khảo khác nhau gồm: 1 quyển sách Văn, 3 quyển sách tiếng Anh và 6 quyển sách Toán thành một hàng ngang trên giá sách. Tính xác suất để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai quyển sách Toán, đồng thời hai quyển Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau.

Có bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số đó thuộc tập hợp $\{1;2;3;\mathrm{.....};9\}?$