Đáp án D

Đáp án A

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số để nhận xét các điểm mà đồ thị hàm số đã đi qua, các điểm cực trị của hàm số để suy ra dấu của $a,b,c.$

Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c(a\ne 0)$ ta có:

+) Hàm số có một cực trị $\iff ab\ge 0$

+) Hàm số có ba cực trị $\iff ab<0$

Giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy nét cuối của đồ thị đi xuống dưới

$\Rightarrow a<0$ ⇒ loại đáp án C và D.

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $\Rightarrow ab<0\Rightarrow b>0.$

Đáp án C

Phương pháp giải:

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc}.$

Khi đó cách chọn các chữ số $a,b,c$ trong tập hợp đã cho là chỉnh hợp chập 3 của 9.

Giải chi tiết:

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc}.$

$\Rightarrow a,b,c$ có $A_9^3$ cách chọn.

Vậy có $A_9^3$ số thỏa mãn bài toán.

Phương pháp giải:

+) Đường thẳng $x=a$ được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ $\iff \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\infty .A$

+) Đường thẳng $y=b$ được gọi là TCN của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ $\iff \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=b.$

Giải chi tiết:

Xét hàm số $y=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2-3x-4}$

TXĐ: $D=[-2;2]\backslash \{-1\}$

$\Rightarrow x=-1$là hai đường TCĐ của đồ thị hàm số đã cho.

⇒ Đồ thị hàm số chỉ có 1 đường TCĐ.

Phương pháp giải:

+) Đường thẳng $x=a$ được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)\iff \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\infty .$

+) Đường thẳng $y=b$ được gọi là TCN của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)\iff \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=b.$

Giải chi tiết:

Xét hàm số: $y=\frac{x^2+2}{x^3+a{x}^2}$

Điều kiện: $x^3+a{x}^2\ne 0\iff \{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -a\end{array}.$

Ta có: $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+2}{x^3+a{x}^2}=0\Rightarrow y=0$ là TCN của đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ ta có:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và nghịch biến trên $(-\infty ;0).$

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x=1$ và đạt cực tiểu tại $x=0.$

Xét hàm số: $g\left(x\right)=f(x^2-3)$ ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)={(x^2-3)}^{\text{'}}{f}^{\text{'}}(x^2-3)$ $=2x{f}^{\text{'}}(x^2-3)$

$\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 2x{f}^{\text{'}}(x^2-3)=0$

$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ f^{\text{'}}(x^2-3)=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2-3=-2\\ x^2-3=1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=1\\ x^2=4\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}$

Với $x=3$ ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=6f^{\text{'}}\left(6\right)>0$

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy:

Hàm số $y=g\left(x\right)$ có 5 điểm cực trị ⇒I  sai.

Hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ ⇒II đúng.

Hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x=2$ ⇒III sai.

Hàm số $g\left(x\right)$ nghịch biến trên $(-2;-1)$ nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;1)$ ⇒IV sai.

Hàm số $g\left(x\right)$ nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;1)\Rightarrow V$ sai.

Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.

Phương pháp giải:

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0.$

Giải chi tiết:

Xét hàm số: $y=\frac{x^4}{2}-x^2+3$ ta có: $y^{\text{'}}=2x^3-2x$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff 2x^3-2x=0\iff 2x(x^2-1)=0$$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-1\end{array}$

⇒ Phương trình $y^{\text{'}}=0$ có ba nghiệm phân biệt ⇒ Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Đáp án A

Đáp án A

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Khi đó: $AG=\frac{2}{3}AO$ (tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \frac{AG}{AC}=\frac{\frac{2}{3}AO}{AC}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{GC}{AC}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{d(G;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}=\frac{2}{3}$

Kẻ $AH\perp SB$

Ta có: $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC$

Lại có: $BC\perp AB$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AH=d(A;\left(SBC\right))$

$\Rightarrow d(G;\left(SBC\right))=\frac{2}{3}AH.$

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta SAB$ vuông tại A, có đường cao $AH$ ta có:

$AH=\frac{SA.AB}{\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

$\Rightarrow d(G;\left(SBC\right))=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$

Đáp án B

Phương pháp giải:

Điểm $x=x_0$ là điểm cực đại của hàm số $y=f\left(x\right)\iff \{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x_0\right)=0\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x_0\right)<0\end{array}.$

Giải chi tiết:

Xét hàm số: $y=\frac{1}{3}{x}^3-m{x}^2+(m^2-m+1)x+1$ ta có: $y^{\text{'}}=x^2-2mx+m^2-m+1$ $\Rightarrow y^{\text{'}\text{'}}=2x-2m$

Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x=1\iff \{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(1\right)=0\\ y^{\text{'}}\left(1\right)<0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}1-2m+m^2-m+1=0\\ 2-2m<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-3m+2=0\\ m>1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m=1\\ m=2\end{array}\\ m>1\end{array}\iff m=2.$

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là: $V=\frac{1}{3}Sh.$

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right).$

Ta có: $\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SH\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$ $\Rightarrow BC\perp SB$

$\Rightarrow V_{SABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.SH.AB.AD=\frac{1}{3}.a.2a.a=\frac{2a^3}{3}.$

$\Rightarrow \Delta SHB$ là tam giác vuông cân tại H $\Rightarrow SH=HB=\frac{1}{2}AB=a.$

Phương pháp giải:

Dựa vào dáng điệu và các điểm mà đồ thị hàm số đi qua để xác định hàm số cần tìm.

Giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy nét cuối của đồ thị hàm số đi lên $\Rightarrow a>0\Rightarrow$ loại đáp án A, B.

Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt và có 2 điểm cực trị ⇒ loại đáp án D.

Đáp án B

Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là góc giữa đường thẳng d và $d^{\text{'}}$ với $d^{\text{'}}$ là hình chiếu vuông góc của d trên $\left(\alpha \right).$

Giải chi tiết:

Ta có: $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ là hình lăng trụ đứng

$\Rightarrow A{A}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$

$\Rightarrow A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ là hình chiếu vuông góc của $A{B}^{\text{'}}$ trên $\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$

$\Rightarrow \angle (A{B}^{\text{'}};\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right))=\angle (A{B}^{\text{'}};A^{\text{'}}{B}^{\text{'}})=\angle A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}A$

Xét $\Delta A{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ vuông tại $A^{\text{'}}$ ta có:

Phương pháp giải:

Tìm TXĐ của hàm số và khảo sát sự biến thiên của hàm số trên TXĐ vừa tìm được.

Giải chi tiết:

Xét hàm số: $y=\sqrt{3x-x^2}$

TXĐ: $D=[0;3].$

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{3-2x}{2\sqrt{3x-x^2}}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff 3-2x=0\iff x=\frac{3}{2}$

Ta có BBT:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $(0;\frac{3}{2})$ và nghịch biến trên $(\frac{3}{2};3).$

Phương pháp giải:

Khảo sát hàm số đã cho trong khoảng $(-25;\frac{11}{10})$ để tìm GTLN của hàm số hoặc bấm máy tính để chọn đáp án đúng.

Giải chi tiết:

Xét hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+1$ trên $(-25;\frac{11}{10})$ ta có: $y^{\text{'}}=3x^2-3x$ 

$\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff [\begin{array}{l}x=0\in (-25;\frac{11}{10})\\ x=1\in (-25;\frac{11}{10})\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}y\left(0\right)=1\\ y\left(1\right)=\frac{1}{2}\end{array}$

Ta có: $\{\begin{array}{l}y\left(0\right)=1\\ y\left(1\right)=\frac{1}{2}\end{array}$ $\Rightarrow \underset{(-25;\frac{11}{10})}{Max}y=\frac{1}{2}$ khi $x=1.$

Phương pháp giải:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ là số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=g\left(x\right)(*)$

Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình $(*).$

Tìm m để phương trình $(*)$ có ba nghiệm phân biệt.

Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm $A,B,C.$ Khi đó có 1 điểm là trung điểm của đoạn thẳng gồm 2 điểm còn lại.

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=(3m-1)x+6m+3$ và đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1$ là:

$(3m-1)x+6m+3=x^3-3x^2+1$

$\iff x^3-3x^2+1-(3m-1)x-6m-3=0$

$\iff x^3-3x^2-(3m-1)x-6m-2=0(*)$

Gọi $x_1,x_2,x_3$ là ba nghiệm phân biệt của phương trình $(*).$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=3\left(1\right)\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=-(3m-1)\left(2\right)\\ x_1{x}_2{x}_3=6m+2\left(3\right)\end{array}$

Khi đó ta có tọa độ ba giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là: $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$ và $C(x_3;y_3).$

Giả sử B là điểm cách đều $A,C$ $\Rightarrow B$ là trung điểm của AC $\Rightarrow x_1+x_3=2x_2.$

$\Rightarrow \left(1\right)\iff 3x_2=3\iff x_2=1$

Thay $x_2=1$ vào phương trình $(*)$ ta được:

$(*)\iff 1-3-(3m-1)-6m-2=0$$\iff -4-3m+1-6m=0$$\iff -9m=3$$\iff m=-\frac{1}{3}$

Với $m=-\frac{1}{3}$ ta được: $(*)\iff x^3-3x^2+2x=0$ $\iff x(x^2-3x+2)=0$ $\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}$

$\Rightarrow m=-\frac{1}{3}$ thỏa mãn bài toán.

$\Rightarrow m\in (-1;0).$

Đáp án D

Phương pháp giải:

Áp dụng bổ đề: Cho hàm số $f\left(x\right),$ liên tục trên $[a;b]$ ta có: $\{\begin{array}{l}\underset{[a;b]}{\min }f\left(x\right)=A\\ \underset{[a;b]}{\max }f\left(x\right)=B\end{array}$⇒ Tìm $\underset{[a;b]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=?$

TH1: Nếu $AB\le 0$ $\Rightarrow \underset{[a;b]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=0.$

TH2: Nếu $\{\begin{array}{l}A>0\\ B>0\end{array}\Rightarrow \underset{[a;b]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=A.$

TH3: Nếu $\{\begin{array}{l}A<0\\ B<0\end{array}\Rightarrow \underset{[a;b]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=-B.$

Giải chi tiết:

Đặt $t=\sin x+\sqrt{3}\cos x$

Ta có: $t=2(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)=2\sin (x+\frac{\pi }{3})\Rightarrow t\in [-2;2].$

Khi đó ta có: $y=|f(\sin x+\sqrt{3}\cos x)+m|=|t^3-3t^2+1+m|$

Xét hàm số $g\left(t\right)=t^3-3t^2+m+1$ trên $[-2;2]$ ta được:

$g^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2-6t\Rightarrow g^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff 3t^2-6t=0\iff [\begin{array}{l}t=0\\ t=2\end{array}$

Ta có: $\{\begin{array}{l}g(-2)=m-19\\ g\left(0\right)=m+1\\ g\left(2\right)=m-3\end{array}$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}\underset{[-2;2]}{\min }g\left(t\right)=m-19\\ \underset{[-2;2]}{\max }g\left(t\right)=m+1\end{array}$

TH1: $(m+1)(m-19)\le 0\iff -1\le m\le 19$ $\Rightarrow \underset{[-2;2]}{\min }\left|g\left(t\right)\right|=0$

⇒ Có 21 giá trị m thỏa mãn bài toán.

TH2: $\{\begin{array}{l}m-19>0\\ m+1>0\end{array}\iff m>19$ $\Rightarrow \underset{[-2;2]}{\min }\left|g\left(t\right)\right|=m-19$

$\Rightarrow m-19\le 5\iff m\le 24\Rightarrow 19<m\le 24$

$\Rightarrow m\in \{20;21;22;23;24\}$

⇒ Có 5 giá trị m thỏa mãn bài toán.

TH3: $\{\begin{array}{l}m-19<0\\ m+1<0\end{array}\iff m<-1$ $\Rightarrow \underset{[-2;2]}{\min }\left|g\left(t\right)\right|=-(m+1)$

$\Rightarrow -m-1\le 5\iff m\ge -6\Rightarrow -6\le m<-1$

$\Rightarrow m\in \{-6;-5;-4;-3;-2\}$

⇒ Có 5 giá trị thỏa mãn bài toán.

Vậy có: $21+5+5=31$ giá trị thỏa mãn bài toán.

Phương pháp giải:

Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)$

Ta có: $AD//BC\Rightarrow AD//\left(SBC\right)$

$\Rightarrow d(AD,SC)=d(AD,\left(SBC\right))=d(A;\left(SBC\right))$

Ta có: $\frac{HB}{AB}=\frac{d(H;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow d(A;\left(SBC\right))=2d(H;\left(SBC\right))$

Kẻ $HK\perp SB$ $\Rightarrow d(H;\left(SBC\right))=HK$

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)$

Ta có: $AD//BC$ $\Rightarrow AD//\left(SBC\right)$

$\Rightarrow d(AD,SC)=d(AD,\left(SBC\right))=d(A;\left(SBC\right))$

Ta có: $\frac{HB}{AB}=\frac{d(H;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow d(A;\left(SBC\right))=2d(H;\left(SBC\right))$

Kẻ $HK\perp SB$

Vì $SH\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AB$

Lại có: $AB\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow AB\perp \left(SBC\right)\Rightarrow HK\perp \left(SBC\right)$

$\Rightarrow d(H;\left(SBC\right))=HK$

$\Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{S{A}^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}$ $=\sqrt{{\left(a\sqrt{5}\right)}^2-a^2}=2a$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta SHB$ vuông tại H, có đường cao HK ta có:

$HK=\frac{SH.BH}{\sqrt{S{H}^2+B{H}^2}}=\frac{2a.a}{\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

$\Rightarrow d(A;\left(SBC\right))=2d(H;\left(SBC\right))=2HK=\frac{4a\sqrt{5}}{5}.$