50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 18)

Câu 1:

Trên khoảng từ $(1; + \infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = \ln (x - 1)$ là

A. $\frac{1}{x - 1}$

B. $x - 1$

C. $\frac{1}{\ln x}$

D. $\frac{e}{\ln (x - 1)}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $y = \ln (x - 1) \Rightarrow y^{'} = \frac{{(x - 1)}^{'}}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$ .

Câu 2:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = -3i có tọa độ là

A. (1;-3)

B. (-3;1)

C. (-3;0)

D. (0;-3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điểm biểu diễn số phức $z = - 3 i$ là (0;-3).

Câu 3:

Với a, b là các số thực dương bất kỳ, $\log_{2} \frac{a}{b^{2}}$ bằng

A. $\frac{1}{2} \log_{2} \frac{a}{b}$

B. $\log_{2} a - 2 \log_{2} b$

C. $2 \log_{2} \frac{a}{b}$

D. $\log_{2} a - \log_{2} (2 b)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\log_{2} \frac{a}{b^{2}} = \log_{2} a - \log_{2} b^{2} = \log_{2} a - 2 \log_{2} b$ , với a, b là số thực dương bất kỳ.

Câu 4:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong hình bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;1)

B. $(1; + \infty)$

C. (1;0)

D. $(- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;0) và $(1; + \infty)$ .

Câu 5:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và có $\int_{0}^{2} f (x) d x = 9; \int_{2}^{4} f (x) d x = 4$ . Khi đó $\int_{0}^{4} f (x) d x$ bằng

A. I = 5

B. $I = \frac{9}{4}$

C. I = 36

D. I = 13

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có

\int_{0}^{4} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{4} f (x) d x = 9 + 4 = 13

.

Câu 6:

Biết tập nghiệm của bất phương trình $3^{x} < 4 - 3^{1 - x}$ là (a; b). Giá trị a + b bằng

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $3^{x} < 4 - 3^{1 - x} \Leftrightarrow 3^{x} < 4 - \frac{3}{3^{x}} \Leftrightarrow 3^{2 x} - {4.3}^{x} + 3 < 0 \Leftrightarrow 1 < 3^{x} < 3 \Leftrightarrow 0 < x < 1$

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (0;1) do đó a = 0, b = 1.

Vậy giá trị a + b = 1.

Câu 7:

Cho hàm số $\int (1 + \sin x) d x = F (x) + C$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $F^{'} (x) = 1 + \sin x$

B. $F^{'} (x) = x - \cos x$

C. $F^{'} (x) = x + \cos x$

D. $F^{'} (x) = - \cos x$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\int F^{'} (x) d x = F (x) + C$ suy ra $F^{'} (x) = 1 + \sin x$ .

Câu 8:

Cho hàm số $f (x) = e^{1 - 2 023 x}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\int f (x) d x = e^{1 - 2023 x} + C$

B. $\int f (x) d x = - 2 023 e^{1 - 2 023 x} + C$

C. $\int f (x) d x = - \frac{e^{1 - 2023 x}}{2 023} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{e^{1 - 2 023 x}}{2 023} + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ suy ra $\int e^{1 - 2023 x} d x = - \frac{e^{1 - 2023 x}}{2 023} + C$ .

Câu 9:

Cho hình nón có đường kính đáy bằng 6, độ dài đường sinh bằng 5. Diện tích xung quanh hình nón đã cho bằng

A. 20

B. $30 π$

C. $15 π$

D. 40

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích xung quanh hình nón đã cho bằng $S_{x q} = π r l = π . \frac{6}{2} .5 = 15 π$ .

Câu 10:

Cho khối chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc. Biết SA = 3a, AB = a, AC = 2a. Thể tích V khối chóp đã cho bằng

A. $V = 6 a^{3}$

B. $V = 2 a^{3}$

C. $V = 4 a^{3}$

D. $V = a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Khối chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc nên $V_{S . A B C} = \frac{1}{6} S A . A B . A C$ .

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{6} .3 a . a .2 a = a^{3}$ .

Câu 11:

Phần thực của số phức z = -4 - i là

A. -4

B. -1

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Số phức z = -4 - i có phần thực là -4.

Câu 12:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là.

A. 2

B. 0

C. 3

D. -2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là -2.

Câu 13:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ:

Mệnh đề nào đúng?

A. $a > 0; b < 0; c > 0$

B. $a < 0; b > 0; c < 0$

C. $a > 0; b < 0; c < 0.$

D. $a > 0; b > 0; c < 0$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta thấy $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ nên a > 0 .

Đồ thị có ba điểm cực trị nên $a b < 0 \Rightarrow b < 0$ .

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0;c) nằm dưới trục hoành nên c < 0 .

Vậy $a > 0; b < 0; c > 0$ .

Câu 14:

Một đội văn nghệ có 5 bạn nam và 3 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn 2 bạn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục hát song ca?

A. $C_{5}^{1} . C_{3}^{1}$

B. $A_{8}^{2}$

C. $C_{8}^{2}$

D. $C_{5}^{1} + C_{3}^{1}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Chọn 1 nữ trong 3 bạn nữ có $C_{3}^{1}$ cách;

Chọn 1 nam trong 5 nam có $C_{5}^{1}$ cách;

Vậy có $C_{5}^{1} . C_{3}^{1}$ cách chọn thỏa mãn đề bài.

Câu 15:

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn $|z + 2 - 3 i| = 4$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. (-2;3)

B. (3;-2)

C. (2;-3)

D. (3;2)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi $z = x + y i$ , $x, y \in ℝ$ .

Ta có: $|z + 2 - 3 i| = 4 \Leftrightarrow |x + y i + 2 - 3 i| = 4$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}} = 4 \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

Vậy tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (-2;3).

Câu 16:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 1 = 0$ . Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (S)?

A. $C (- 2; 1; 0)$

B. $B (2; - 1; 0)$

C. $A (0; 0; 1)$

D. $D (- 4; 2; 0)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta thay các tọa độ của các điểm ở 4 phương án vào phương trình mặt cầu (S) thì được tọa độ A(0;0;1) thỏa mãn.

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng

A. $45 °$

B. $60 °$

C. $90 °$

D. $120 °$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Vì $O y ⊥ (O x z)$ nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng $90 °$ .

Câu 18:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm

f^{'} (x) = (x + 1) {(2 x - 5)}^{2}

với mọi

x \in ℝ

. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(- 1; 3)$

C. $(- 1; + \infty)$

D. $(- 3; 1)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = \frac{5}{2} \end{array}$ .

Bảng xét dấu f'(x):

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ .

Câu 19:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. $x = 0$

B. $x = \sqrt{2}$

C. $x = 1$

D. $x = - 3$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0

Câu 20:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) \leq 1$ là

A. $[\frac{5}{2}; + \infty)$

B. $(\frac{5}{2}; + \infty)$

C. $(- \infty; \log_{2} 5)$

D. $(- \infty; \frac{5}{2})$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$ .

Bất phương trình: $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) \leq 1 \Leftrightarrow x - 2 \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \geq \frac{5}{2}$ .

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm $S = [\frac{5}{2}; + \infty)$ .

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

A. $a \sqrt{6}$

B. $2 a$

C. $a \sqrt{2}$

D. $a \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi M là trung điểm AD, suy ra ABCM là hình vuông cạnh a .

Xét tam giác ACM có CM là trung tuyến và $C M = \frac{1}{2} A D \Rightarrow \hat{A C M} = 90 °$ .

Ta có $\begin{matrix} A C ⊥ S A \\ A C ⊥ C D \end{matrix}\} \Rightarrow A C$ là đoạn vuông góc chung của SA và CD.

Vậy $d (S A, C D) = A C = a \sqrt{2}$ .

Câu 22:

Khối lập phương có độ dài đường chéo là $3 \sqrt{3}$ . Thể tích của khối lập phương đã cho là

A. 27

B. $27 \sqrt{3}$

C. 9

D. 81

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là x .

Ta có $A^{'} C^{2} = A {A^{'}}^{2} + A D^{2} + D C^{2} \Rightarrow {(3 \sqrt{3})}^{2} = x^{2} + x^{2} + x^{2} \Rightarrow x = 3$

Vậy thể tích của khối lập phương là $V = 3^{3} = 27$ .

Câu 23:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng y = 1 là

A. (1;2)

B. (2;0)

C. (0;2)

D. (2;1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng yy= 1 cắt đồ thị hàm số tại điểm x = 2 và y = 1.

Câu 24:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng y = 1 là

A. (1;2)

B. (2;0)

C. (0;2)

D. (2;1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng yy= 1 cắt đồ thị hàm số tại điểm x = 2 và y = 1.

Câu 25:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{3})}^{x + 1} > 3$ là

A. $[- 2; + \infty)$

B. $(- 2; + \infty)$

C. $(- \infty; - 2)$

D. $(- \infty; - 2]$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có ${(\frac{1}{3})}^{x + 1} > 3 \Leftrightarrow x + 1 < - 1 \Leftrightarrow x < - 2$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = (- \infty; - 2)$ .

Câu 26:

Trên khoảng

(0; + \infty)

, đạo hàm của hàm số

y = x^{e}

là

A. $\frac{x^{e + 1}}{e + 1}$

B. $e x^{e - 1}$

C. $x^{e - 1}$

D. $x^{e}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Với mọi $x \in (0; + \infty)$ , ta có ${(x^{e})}^{'} = e x^{e - 1}$ .

Vậy trên khoảng $(0; + \infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = x^{e}$ là $y^{'} = e x^{e - 1}$ .

Câu 27:

Nếu $\int_{- 1}^{2} f (x) d x = 2$ thì $I = \int_{- 1}^{2} [x + 2 f (x)] d x$ bằng

A. $I = \frac{7}{2}$

B. $I = \frac{5}{2}$

C. $I = \frac{17}{2}$

D. $I = \frac{11}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$I = \int_{- 1}^{2} [x + 2 f (x)] d x = \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 2 f (x) d x = {\frac{x^{2}}{2}|}_{- 1}^{2} + 2 \int_{- 1}^{2} f (x) d x$ $= \frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + 2.2 = \frac{11}{2}$

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d : \frac{x + 3}{4} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{2}$ có một vectơ chỉ phương có tọa độ là

A. (-3;2;1)

B. (3;-2;-1)

C. (4;3;2)

D. (4;3;-2)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $d : \frac{x + 3}{4} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (4; 3; 2)$ .

Câu 29:

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = x^{2} - 4 x + 3$ và y = 0 quanh trục Ox bằng

A. $\frac{16}{15}$

B. $\frac{16 π}{15}$

C. $\frac{31 π}{30}$

D. $\frac{31}{30}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của đường $y = x^{2} - 4 x + 3$ và đường y = 0 là: $x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$ .

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = x^{2} - 4 x + 3$ và y = 0 quanh trục Ox là:

$V = π \int_{1}^{3} {(x^{2} - 4 x + 3)}^{2} d x = \frac{16 π}{15}$

.

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và $S A = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

A. $30 °$

B. $90 °$

C. $60 °$

D. $45 °$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra $B D ⊥ A O$ .

Vì $\{\begin{cases} B D ⊥ A C \\ B D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A C)$ . Mà $S O \subset (S A C)$ suy ra $B D ⊥ S O$ .

Ta có $\{\begin{cases} B D = (S B D) \cap (A B C D) \\ S O \subset (S B D), S O ⊥ B D \\ A O \subset (A B C D), A O ⊥ B D \end{cases} \Rightarrow (\hat{(S B D), (A B C D)}) = (\hat{S O, A O}) = \hat{S O A}$ .

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên có $A C = a \sqrt{2}$ ; $A O = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SAO vuông tại A có

\tan \hat{S O A} = \frac{S A}{A O} = \frac{a \sqrt{6}}{2} : \frac{a \sqrt{2}}{2} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S O A} = 60 °

.

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - \frac{z}{2} = 1$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

A. $\vec{n} = (1; 1; - 1)$

B. $\vec{n} = (2; 3; - 2)$

C. $\vec{n} = (2; 3; 2)$

D. $\vec{n} = (3; 2; - 3)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $(P) : \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - \frac{z}{2} = 1 \Rightarrow (P) : 3 x + 2 y - 3 z - 6 = 0$ .

Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (3; 2; - 3)$ .

Câu 32:

Một nhóm gồm 2 người đàn ông, 3 người phụ nữ và 4 trẻ em. Chọn ngẫu nhiên 4 người từ nhóm đó. Xác suất để 4 người được chọn: có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em bằng

A. $\frac{8}{21}$

B. $\frac{4}{7}$

C. $\frac{2}{7}$

D. $\frac{3}{7}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $n (Ω) = C_{9}^{4}$ .

Gọi A là biến cố “trong 4 người được chọn: có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em”.

Có 3 trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Chọn 1 người đàn ông, 1 người phụ nữ và 2 người trẻ em có: $C_{2}^{1} . C_{3}^{1} . C_{4}^{2}$ (cách chọn).

Trường hợp 2: Chọn 1 người đàn ông, 2 người phụ nữ và 1 người trẻ em có: $C_{2}^{1} . C_{3}^{2} . C_{4}^{1}$ (cách chọn).

Trường hợp 1: Chọn 2 người đàn ông, 1 người phụ nữ và 1 người trẻ em có: $C_{2}^{2} . C_{3}^{1} . C_{4}^{1}$ (cách chọn).

$\Rightarrow n (A) = C_{2}^{1} . C_{3}^{1} . C_{4}^{2} + C_{2}^{1} . C_{3}^{2} . C_{4}^{1} + C_{2}^{2} . C_{3}^{1} . C_{4}^{1} = 72$ .

$\Rightarrow P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{72}{126} = \frac{4}{7}$ .

Câu 33:

Số phức liên hợp của $z = {(1 + i)}^{2}$ là

A. 1 - i

B. -2i

C. 2i

D. ${(1 - i)}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $z = {(1 + i)}^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i \Rightarrow \bar{z} = - 2 i$ .

Câu 34:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt?

A. 5

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Số nghiệm của f(x) = m bằng số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị y = f(x).

Yêu cầu bài toán là f(x) = m có ba nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow - 1 < m < 3$ , m nguyên dương nên $m \in \{1,2\}$ .

Vậy có 2 giá trị của m .

Câu 35:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(4;-2;1) và N(5;2;3). Đường thẳng MN có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 4 - t \\ y = - 2 - 4 t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 4 + t \\ y = - 2 - 4 t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = - 5 + t \\ y = 2 + 4 t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 5 + t \\ y = 2 + 4 t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương $\vec{u} = \vec{M N} = (1; 4; 2)$ và đi qua điểm $N (5; 2; 3)$ nên có phương trình tham số $\{\begin{cases} x = 5 + t \\ y = 2 + 4 t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$ .

Câu 36:

Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3). Điểm đối xứng với A qua trục Oz có tọa độ là

A. (1;2;-3)

B. (-1;-2;3)

C. (0;0;3)

D. (-1;2;3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Tọa độ hình chiếu của điểm A(1;2;3) trên Oz là H(0;0;3).

Gọi điểm A' đối xứng với A qua trục Oz thì H là trung điểm của đoạn AA'. Suy ra tọa độ điểm A'(-1;-2;3)

Câu 37:

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị $y = \frac{- 2 x - 1}{x - 2}$ ?

A. x = -2

B. x = 2

C. y = 2

D. y = -2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{- 2 x - 1}{x - 2} = - 2$ nên phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị $y = \frac{- 2 x - 1}{x - 2}$ là y = -2

Câu 38:

Một mặt phẳng $(α)$ cắt mặt cầu theo một thiết diện là đường tròn có bán kính $r < R$ . Gọi d là khoảng cách từ I đến $(α)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. d = R

B. d = 0

C. d > R

D. d < R

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng $(α)$ cắt mặt cầu theo một thiết diện là đường tròn có bán kính r .

Suy ra

d = \sqrt{R^{2} - r^{2}}

mà

r < R

\Rightarrow 0 < d < R

.

Câu 39:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(-3;1-3) và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z}{1}$ . Gọi $(α)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oyz). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(α)$ bằng

A. $2 \sqrt{10}$

B. $\sqrt{10}$

C. $\frac{8 \sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét đường thẳng d đi qua điểm M(-1;2;0), có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; - 3; 1)$ .

Xét mặt phẳng (Oyz) có một vectơ pháp tuyến $\vec{i} = (1; 0; 0)$ .

Do $d \subset (α)$ , $(α) ⊥ (O y z)$ nên suy ra vectơ $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{i}] = (0; - 1; - 3)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ và $M \in (α)$ .

Mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm và nhận vectơ $\vec{n} = (0; - 1; - 3)$ là vectơ pháp tuyến có phương trình là: $y + 3 z - 2 = 0$ .

Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(α)$ bằng: $\frac{|1 + 3 (- 3) - 2|}{\sqrt{1^{2} + 3^{2}}} = \sqrt{10}$ .

Câu 40:

Biết tập nghiệm của bất phương trình ${\log_{2}}^{2} (x^{2} - 1) - \log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{2} \frac{2}{3} \log_{3} 2 \leq 0$ là $S = [a; b] \cup [c; d]$ với $a < b < c < d$ . Giá trị của biểu thức a + b +c + 2d bằng

A. $\frac{1}{\log_{2} 3}$

B. $\sqrt{3}$

C. $- \sqrt{3}$

D. $\frac{1}{\log_{2} 3} + 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $x^{2} - a > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 1 \\ x < - 1 \end{array}$ .

Đặt $t = \log_{2} (x^{2} - 1)$ .

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành $t^{2} - t \log_{3} 2 + \log_{3} 2 - 1 \leq 0 \Leftrightarrow t \in [\log_{3} 2 - 1; 1]$ .

Suy ra $[\begin{array}{l} \sqrt{2^{(\log_{3} 2 - 1)} + 1} \leq x \leq \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \leq x \leq - \sqrt{2^{(\log_{3} 2 - 1)} + 1} \end{array}$ .

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S = [- \sqrt{3}; - \sqrt{2^{(\log_{3} 2 - 1)} + 1}] \cup [\sqrt{2^{(\log_{3} 2 - 1)} + 1}; \sqrt{3}]$ .

Vậy $a + b + c + 2 d = \sqrt{3}$ .

Câu 41:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

$\log_{3} (x^{2} + 4 y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2}) + \frac{x^{2} - 8 x + 4 y^{2}}{x} \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2} + 24 x)$ ?

A. 24

B. 25

C. 22

D. 48

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt $t = \frac{x^{2} + 4 y^{2}}{x}$ (t>0 do x > 0 ).

Từ giả thiết $\Rightarrow \log_{3} (t x + x) + \log_{2} (t x) + t - 8 \leq \log_{3} x + \log_{2} (t x + 24 x)$

$\Leftrightarrow \log_{3} (t + 1) + t - 8 \leq \log_{2} (\frac{t + 24}{t})$

$\Leftrightarrow \log_{3} (t + 1) + t - 8 - \log_{2} (\frac{t + 24}{t}) \leq 0$

Đặt $f (t) = \log_{3} (t + 1) + t - 8 - \log_{2} (\frac{t + 24}{t})$ , t > 0 ta có:

$f' (t) = \frac{1}{(t + 1) \ln 3} + 1 - \frac{1}{(\frac{t + 24}{t}) \ln 2} . (\frac{- 24}{t^{2}}) > 0, \forall t > 0 \Rightarrow f (t)$ đồng biến.

Mà $f (t) \leq f (8) = 0 \Rightarrow 0 < t \leq 8$

· Với $y = 0 \Rightarrow t = x \Rightarrow x \in \{1; 2; ...8\}$

Suy ra có 8 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

Ta có $t \leq 8 \Rightarrow x^{2} + 4 y^{2} \leq 8 x \Rightarrow {(x - 4)}^{2} + 4 y^{2} \leq 16$

$4 y^{2} \leq 16 \Leftrightarrow - 2 \leq y \leq 2$

· Với $y = \pm 2 \Rightarrow {(x - 4)}^{2} \leq 0 \Rightarrow x = 4$

Suy ra có 2 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

· Với $y = \pm 1 \Rightarrow {(x - 4)}^{2} \leq 12 \Rightarrow - 2 \sqrt{3} \leq x - 4 \leq 2 \sqrt{3}$ $\Rightarrow x \in \{1; 2; ...7\}$

Suy ra có 14 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 8 + 2 + 14 = 24 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 42:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{4} - 4 x^{3} + (4 - m) x + 1$ có ba điểm cực trị?

A. 17

B. 12

C. 15

D. 8

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 12 x^{2} + (4 - m)$

Hàm số $y = x^{4} - 4 x^{3} + (4 - m) x + 1$ có ba cực trị khi và chỉ khi $y^{'} = 4 x^{3} - 12 x^{2} + (4 - m) = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

Xét phương trình: $4 x^{3} - 12 x^{2} = m - 4$ .

$h (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} \Rightarrow h^{'} (x) = 12 x^{2} - 24 x$ ; $h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0 \\ x = 2 \Rightarrow y = - 16 \end{array}$

Vậy $y = x^{4} - 4 x^{3} + (4 - m) x + 1$ có ba cực trị khi và chỉ khi $- 16 < m - 4 < 0$

$\Leftrightarrow - 12 < m < 4$

Do m nguyên nên có 15 giá trị m .

Câu 43:

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^{2} - 2 (m + 1) z + m^{2} + 2 = 0$ (m tham số). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_{1}; z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| + |z_{2}| = 8$ ?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $Δ' = 2 m - 1$ .

Trường hợp 1: Với $m > \frac{1}{2}$ , thì phương trình $z^{2} - 2 (m + 1) z + m^{2} + 2 = 0$ có hai nghiệm dương.

Nên $|z_{1}| + |z_{2}| = 8 \Leftrightarrow z_{1} + z_{2} = 8 \Leftrightarrow 2 (m + 1) = 8 \Leftrightarrow m = 3 (T M)$

Trường hợp 2: Với $m < \frac{1}{2}$ , hai nghiệm của phương trình $z^{2} - 2 (m + 1) z + m^{2} + 2 = 0$ là $z_{1} = m + 1 + \sqrt{1 - 2 m} i, z_{2} = m + 1 - \sqrt{1 - 2 m} i$

Nên $|z_{1}| + |z_{2}| = 8 \Leftrightarrow 2 \sqrt{{(m + 1)}^{2} + 1 - 2 m} = 8 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \sqrt{14} (L) \\ m = - \sqrt{14} (T M) \end{array}$

Kết luận: Có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn đề bài.

Câu 44:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + y - z + 2 = 0$ và hai điểm A(3;4;1), B(7;-4;-3). Điểm M(a;b;c) trên (P) sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất. Khi a > 2 thì biểu thức T = a + b - c có giá trị bằng

A. T = -1

B. T = -2

C. T = 0

D. T = 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $S_{Δ M A B} = \frac{1}{2} d (M; A B) . A B$ . (AB không đổi)

$\Rightarrow S_{Δ M A B}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ $d (M; A B)$ là nhỏ nhất $\Rightarrow$ $M \in Δ = (P) \cap (Q)$ với (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (P).

Ta có: $\vec{A B} = (4; - 8; - 4) = 4 (1; - 2; - 1) = 4 \vec{u}$ ; mp(P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{P}} = (1; 1; - 1)$ .

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(3;4;1), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{u}; \vec{n_{P}}] = (3; 0; 3)$ có phương trình là: $x + z - 4 = 0$ .

Vì $Δ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) ta có:

$Δ : \{\begin{cases} x + z - 4 = 0 \\ x + y - z + 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow Δ : \{\begin{cases} x = t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 4 - t \end{cases}$

Do $m \in Δ$ nên $M (t; 2 - 2 t; 4 - t)$ (với t > 2).

Ta có: $\vec{A M} = (t - 3; - 2 t - 2; - t + 3)$ , $\vec{B M} = (t - 7; - 2 t + 6; - t + 7)$ .

$Δ A B M$ vuông tại M $\Rightarrow$ $\vec{A M} . \vec{B M} = 0 \Leftrightarrow 6 t^{2} - 28 t + 30 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{5}{3} (l) \\ t = 3 (t m) \end{array}$

Với $t = 3$ $\Rightarrow$ $M (3; - 4; 1)$ .

Vậy $T = a + b - c = - 2$ .

Câu 45:

Biết F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên $ℝ$ và thoả mãn $\int_{0}^{4} f (x) d x = F (4) - G (0) + 2 m$ , với m > 0. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = F (x)$ , $y = G (x)$ ; $x = 0$ và $x = 4$ . Khi S = 8 thì m bằng

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Theo đề ta có $\int_{0}^{4} f (x) d x = F (4) - G (0) + 2 m \Rightarrow F (x) |_{0}^{4} = F (4) - G (0) + 2 m$

$\Rightarrow F (4) - F (0) = F (4) - G (0) + 2 m \Rightarrow G (0) - F (0) = 2 m$ (1)

Mặt khác, do F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên $ℝ$ nên ta có G(x) - F(x) = C (không đổi) với mọi $x \in ℝ$ .(2)

Từ (1) và (2) suy ra $G (x) - F (x) = 2 m > 0$ , với mọi $x \in ℝ$ .

Khi đó ta có $S = \int_{0}^{4} |G (x) - F (x)| d x = \int_{0}^{4} 2 m . d x = {2 m x|}_{0}^{4} = 8 m$ .

Theo đề ta có $8 m = 8 \Leftrightarrow m = 1$ .

Câu 46:

Trong các số phức z thoả mãn điều kiện $|z - 2 - 5 i| = |z - 3 i|$ , biết rằng $z = x + y i,$ $(x, y \in ℝ)$ có môđun nhỏ nhất. Tính $P = x^{2} + y^{2} .$

A. $P = \frac{4}{5}$

B. $P = 5$

C. $P = \frac{25}{4}$

D. $P = \frac{25}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $|z - 2 - 5 i| = |z - 3 i|$

$\Leftrightarrow |x + y i - 2 - 5 i| = |x + y i - 3 i|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y - 3)}^{2}}$

$\Leftrightarrow x + y - 5 = 0$

$\Leftrightarrow y = 5 - x$ .

Mô đun của số phức z là $|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(5 - x)}^{2}} = \sqrt{2 x^{2} - 10 x + 25}$ .

Mô đun của số phức z nhỏ nhất là $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ khi $x = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{5}{2}$ .

Vậy $P = x^{2} + y^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$ .

Câu 47:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng $60 °$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $a \sqrt{6}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

A. $\frac{7 a^{3} \sqrt{42}}{3}$

B. $\frac{7 a^{3} \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{42}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt $A B = x, x > 0$ $\Rightarrow A C = x \sqrt{2}$ .

Ta có $S A ⊥ (A B C D)$ $\Rightarrow (S C, (A B C D)) = (S C, A C) = \hat{S C A}$

$\Rightarrow \hat{S C A} = 60 °$ $\Rightarrow S A = A C \tan \hat{S C A} = x \sqrt{6}$ .

Kẻ $A H ⊥ S B, H \in S B$ có

$\begin{array}{l} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{array}\} \Rightarrow B C ⊥ A H$ .

Mà $A H ⊥ S B$ $\Rightarrow A H ⊥ (S B C)$ $\Rightarrow d (A, (S B C)) = A H$ $\Rightarrow A H = a \sqrt{6}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong $Δ S A B$ vuông tại A, AH là đường cao ta có:\

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{6 a^{2}} = \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$ $\Rightarrow x = a \sqrt{7}$ .

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là

$V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a \sqrt{7} . \sqrt{6} . {(a \sqrt{7})}^{2} = \frac{7 a^{3} \sqrt{42}}{3}$

Câu 48:

Cho hàm số $f (x) = |- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} (2 m + 3) x^{2} - (m^{2} + 3 m) x + \frac{2}{3}|$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-20;23] để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2)?

A. 3

B. 16

C. 2

D. 19

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt $g (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} (2 m + 3) x^{2} - (m^{2} + 3 m) x + \frac{2}{3}$ , với $m \in ℝ$ .

Ta có $g (1) = - m^{2} - 2 m + \frac{11}{6}$ ; $g (2) = - 2 m^{2} - 2 m + 4$ .

Đạo hàm $g^{'} (x) = - x^{2} + (2 m + 3) x - (m^{2} + 3 m)$ , do đó $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m \\ x = m + 3 \end{array}$

Bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau

Hàm số $f (x) = |g (x)|$ nghịch biến trên khoảng (1;2) nếu một trong các trường hợp sau xảy ra:

Trường hợp 1: $\{\begin{cases} m \geq 2 \\ g (2) \geq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq 2 \\ - 2 m^{2} - 2 m + 4 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq 2 \\ - 2 \leq m \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow m \in \emptyset$ .

Trường hợp 2: $\{\begin{cases} m \leq 1 \\ m + 3 \geq 2 \\ g (2) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 \leq m \leq 1 \\ [\begin{array}{l} m \geq 1 \\ m \leq - 2 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow m = 1$ (nhận).

Trường hợp 3: $\{\begin{cases} m + 3 \leq 1 \\ g (2) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq - 2 \\ - 2 \leq m \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 2$ (nhận).

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m \in [- 20; 23]$ thỏa mãn.

Câu 49:

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’). Một mặt phẳng song song với trục và cách trục của hình trụ một khoảng bằng

\frac{10 a}{3}

, cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vuông

A B C D, A \in (O^{'})

. Biết góc giữa OA và mặt phẳng (ABCD) bằng

30 °

. Thể tích khối trụ đã cho bằng

A. $\frac{1360 \sqrt{15} a^{3}}{54} π$

B. $\frac{640 \sqrt{15} a^{3}}{54} π$

C. $\frac{1360 \sqrt{15} a^{3}}{27} π$

D. $\frac{640 \sqrt{15} a^{3}}{27} π$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm CD.

Ta có $\{\begin{cases} O I ⊥ C D \\ O I ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow O I ⊥ (A B C D) \Rightarrow d_{(O, (A B C D))} = O I = \frac{10 a}{3}$ .

Đồng thời, $(\hat{O A, (A B C D)}) = \hat{O A I} = 30 °$ .

Nên $\tan 30 ° = \frac{O I}{A I} \Rightarrow A D \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\frac{10}{3} a}{\tan 30 °} \Rightarrow h = A D = \frac{4 \sqrt{15}}{3} a$

$\Rightarrow R = O D = \frac{4 \sqrt{10}}{3} a$

Thể tích khối trụ đã cho bằng $V = π R^{2} h = \frac{640 \sqrt{15} a^{3}}{27} π$ .

Câu 50:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ , thỏa mãn $f^{'} (x) - f (x) = - 8 + 16 x - 4 x^{2}$ và $f (0) = 0$ . Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox quay quanh Ox bằng

A. $\frac{16}{3} π$

B. $\frac{256}{15}$

C. $\frac{16}{3}$

D. $\frac{256}{15} π$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $f^{'} (x) - f (x) = - 8 + 16 x - 4 x^{2}$

$\Leftrightarrow e^{- x} f^{'} (x) - e^{- x} f (x) = e^{- x} (- 8 + 16 x - 4 x^{2})$

$\Leftrightarrow {[f (x) e^{- x}]}^{'} = e^{- x} (- 8 + 16 x - 4 x^{2})$

$\Rightarrow f (x) e^{- x} = \int e^{- x} (- 8 + 16 x - 4 x^{2}) = (4 x^{2} - 8 x) e^{- x} + C$

$\Rightarrow f (x) = 4 x^{2} - 8 x + C e^{x}$

Mà $f (0) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = 4 x^{2} - 8 x$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $y = f (x) = 4 x^{2} - 8 x$ và trục hoành:

$4 x^{2} - 8 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Khi đó thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox quay quanh Ox: $V = π \int_{0}^{2} {(4 x^{2} - 8 x)}^{2} d x = \frac{256}{15} π .$