51 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 15) - vietjack.online

Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 15)

Đề số 1

Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 15)

195 lượt thi
51 câu hỏi
90 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên $ℝ$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = f(x) trên đoạn [-2;2].

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = f(x) (ảnh 1)

A. $m = - 5, M = 0$

B. $m = - 2, M = 2$

C. $m = - 1, M = 0$

D. $m = - 5, M = - 1$

Đáp án đúng là: D

Quan sát đồ thị hàm số đã cho ta thấy hàm số y = f(x) đạt giá trị nhỏ nhất m = -5 và giá trị lớn nhất M = -1 .

Câu 2:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 2 023 x$ .

A. $2 023 \cos 2 023 x + C$

B. $\frac{\cos 2 023 x}{2 023} + C$

C. $\frac{\cos 2 023 x}{2 024} + C$

D. $- \frac{\cos 2 023 x}{2 023} + C$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int \sin 2 023 x d x = - \frac{\cos 2 023}{2 023} + C$ .

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0?

A. $M (1; 1; - 1)$

B. $N (1; - 1; - 1)$

C. $Q (1; - 2; 2)$

D. $P (2; - 1; - 1)$

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ điểm $N (1; - 1; - 1)$ vào phương trình mặt phẳng $(P) : 2 x - y + z - 2 = 0$ ta có: $2 \cdot 1 - (- 1) + (- 1) - 2 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (luôn đúng).

Vậy điểm $N (1; - 1; - 1)$ nằm trên mặt phẳng $(P) : 2 x - y + z - 2 = 0$ .

Câu 4:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;0)

B. (0;1)

C. (-1;1)

D. $(- \infty; - 1)$

Đáp án đúng là: A

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên $(- 1; 0) \cup (1; + \infty)$ .

Câu 5:

Cho một cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d , số hạng tổng quát $u_{n}$ được xác định bởi công thức

A. $u_{n} = d + n . u_{1}$

B. $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$

C. $u_{n} = d + (n - 1) u_{1}$

D. $u_{n} = u_{1} + n . d$

Đáp án đúng là: B

Số hạng tổng quát $u_{n}$ của cấp số cộng là $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .

Câu 6:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} x < 0$ là

A. $(0; 1)$

B. $(- \infty; 1)$

C. $(1; + \infty)$

D. $(0; + \infty)$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\log_{2} x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$ .

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} x < 0$ là (0;1).

Câu 7:

Tính đạo hàm của hàm số $y = 17^{- x}$

A. $y^{'} = - x {.17}^{- x - 1}$

B. $y^{'} = - 17^{- x}$

C. $y^{'} = - 17^{- x} \ln 17$

D. $y^{'} = 17^{- x} \ln 17$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $y = 17^{- x} \Rightarrow y^{'} = - 17^{- x} \ln 17$ .

Câu 8:

Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường $x = 0, x = π, y = 0$ và $y = - \sin x$ . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức

A. $V = π \int_{0}^{π} |\sin x| d x$

B. $V = π \int_{0}^{π} \sin^{2} x d x$

C. $V = π |\int_{0}^{π} (- \sin x) d x|$

D. $V = \int_{0}^{π} \sin^{2} x d x$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $V = π \int_{0}^{π} {(- \sin x)}^{2} d x = π \int_{0}^{π} \sin^{2} x d x$ .

Câu 9:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Điểm cực đại của hàm số đã cho là

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Điểm cực đại của hàm số đã cho là (ảnh 1)

A. x = 3

B. x = -3

C. x = 1

D. x = -2

Đáp án đúng là: D

Quan sát bảng biến thiên ta có điểm cực đại của hàm số đã cho làx = -2.

Câu 10:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, chiều cao h. Khi đó thể tích khối lăng trụ là

A. $\frac{a^{2} h \sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{a^{2} h \sqrt{3}}{12}$

C. $\frac{a^{2} h}{4}$

D. $\frac{a^{2} h \sqrt{3}}{4}$

Đáp án đúng là: D

Thể tích khối lăng trụ là $V = S \cdot h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h = \frac{a^{2} h \sqrt{3}}{4}$ .

Câu 11:

Cho hàm f(x) xác định trên $ℝ$ có bảng xét dấu f’(x) như sau

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Đáp án đúng là: C

Quan sát bảng xét dấu ta có: f'(x) đổi dấu khi đi qua x = -2 và x = 0 nên hàm số đã cho có 2 cực trị.

Câu 12:

Cho hàm f(x) có đạo hàm liên tục trên [2;3] đồng thời f(2) = 2 , f(3) = 5. Tính $\int_{2}^{3} f^{'} (x) d x$ bằng

A. 10

B. 3

C. -3

D. 7

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int_{2}^{3} f^{'} (x) d x = f (3) - f (2) = 5 - 2 = 3$ .

Câu 13:

Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?

Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào (ảnh 1)

A. $y = x^{3} - 3 x + 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

C. $y = x^{4} - x^{2} + 1$

D. $y = - x^{2} + x - 1$

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị ta nhận thấy đồ thị là của hàm số bậc 3 có hệ số chứa $x^{3}$ dương.

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;-2), B(2;2;1). Vectơ $\vec{A B}$ có tọa độ là

A. (3;1;1)

B. (1;1;3)

C. (3;3;-1)

D. (-1;-1;-3)

Đáp án đúng là: B

Ta có

\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A}) = (1; 1; 3)

Câu 15:

Hàm số $y = {(1 - 4 x^{2})}^{- 4}$ có tập xác định là

A. $ℝ \ \{\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}\}$

B. $ℝ$

C. $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

D. $(0; + \infty)$

Đáp án đúng là: A

Hàm số đã cho xác định khi $1 - 4 x^{2} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm \frac{1}{2}$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $ℝ \ \{\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}\}$ .

Câu 16:

Nếu $\int_{1}^{2} f (x) d x = 3, \int_{2}^{3} f (t) d t = - 1$ thì $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

A. -2

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: B

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $\int_{2}^{3} f (t) d t = \int_{2}^{3} f (x) d x = - 1$ .

Do đó

\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) d x = 3 + (- 1) = 2

.

Câu 17:

y = a x^{4} + b x^{2} + c

có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng?

Cho hàm số ã^4 + bx^3 + c có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng? (ảnh 1)

A. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

B. $y = - x^{4} - 2 x^{2} - 3$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 3$

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên ta có a>0 . Loại đáp án B, D

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;-3) nên loại đáp án C và chọn đáp án A.

Câu 18:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Đáp án đúng là: B

Nhìn bảng biến thiên ta thấy $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - \infty \Rightarrow$ x = 0 là TCĐ của đồ thị hàm số

Ta có

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = 3 \Rightarrow y = 3$ là TCN của đồ thị hàm số

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = 1 \Rightarrow y = 1$ là TCN của đồ thị hàm số

Vậy hàm số có 3 tiệm cận.

Câu 19:

Từ các số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau?

A. 16

C. 24

D. 120

D. 720

Đáp án đúng là: C.

Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ 5 chữ số đã cho là một hoán vị của 5 phần tử. Nên số các số tự nhiên cần tìm là 5! = 120 số.

Câu 20:

Khối lăng trụ ngũ giác có tất cả bao nhiêu cạnh?

A. 15

B. 25

C. 10

D. 20

Đáp án đúng là: A.

Khối lăng trụ ngũ giác 15 cạnh: gồm 10 cạnh đáy và 5 cạnh bên.

Câu 21:

Đường cong trong hình sau là đồ thị hàm số nào?

Đường cong trong hình sau là đồ thị hàm số nào? (ảnh 1)

A. $y = \log_{2} (2 x)$

B. $y = 2^{x}$

C. $y = \frac{1}{2} x + 1$

D. $y = {(\sqrt{2})}^{x}$

Đáp án đúng là: B

Từ 4 phương án và đồ thị hàm số ta thấy hàm số nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang nên đồ thị trên là đồ thị hàm số mũ.

Hơn nữa đồ thị của hàm số đi qua điểm có tọa độ (1;2) và (0;1) nên đồ thị đã cho là đồ thị hàm số $y = 2^{x}$ .

Câu 22:

Thể tích của khối trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

A. $V = 4 π r l$

B. $V = π r l$

C. $V = \frac{1}{3} π r l$

D. $V = l π r^{2}$

Đáp án đúng là: D

Thể tích của khối trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng $V = π r^{2} h = π r^{2} l$ .

Câu 23:

Gọi l,h,r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Tìm mệnh đề đúng

Gọi l,h,r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Tìm mệnh đề đúng (ảnh 1)

A. $S_{xq} = \frac{1}{3} π r^{2} h$

B. $S_{xq} = π r l$

C. $S_{xq} = π r h$

D. $S_{xq} = 2 π r l$

Đáp án đúng là: B

Diện tích xung quanh của khối nón là $S_{xq} = π r l$ .

Câu 24:

Cho mặt phẳng $(α) : 2 x - 3 y - 4 z + 1 = 0$ . Khi đó một vectơ pháp tuyến của $(α)$ là

A. $\vec{n} = (- 2; 3; 4)$

B. $\vec{n} = (- 2; 3; 1)$

C. $\vec{n} = (2; 3; - 4)$

D. $\vec{n} = (2; - 3; 4)$

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $(α) : 2 x - 3 y - 4 z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; - 3; - 4)$ .

Suy ra $\vec{n} = (- 2; 3; 4)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $(α)$ .

Câu 25:

. Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h là

A. $V = S h$

B. $V = \frac{1}{3} S h$

C. $V = 3 S h$

D. $V = \frac{1}{2} S h$

Đáp án đúng là: B

Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h là $V = \frac{1}{3} S h$ .

Câu 26:

Số nghiệm phương trình $2^{2 x^{2} - 7 x + 5} = 1$ là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: C

Ta có: $2^{2 x^{2} - 7 x + 5} = 1 \Leftrightarrow 2^{2 x^{2} - 7 x + 5} = 2^{0} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 7 x + 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{5}{2} \end{array}$ .

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 27:

Họ các nguyên hàm của hàm số

f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{2}{x}

A. $F (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 \ln x + C$

B. $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 \ln x + C$

C. $F (x) = 2 x - 3 - \frac{2}{x^{2}} + C$

D. $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 \ln |x| + C$

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int (x^{2} - 3 x + \frac{2}{x}) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 \ln |x| + C$ .

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(3;5;2) trên trục Ox có tọa độ là

A. (3;0;0)

B. (0;0;2)

C. (0;5;2)

D. (0;5;0)

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng chứa trục Ox có 1 vectơ chỉ phương $\vec{i} = (1; 0; 0)$ .

Gọi H là hình chiếu của điểm A(3;5;2) trên trục Ox

$\Rightarrow H (a; 0; 0)$ ; $\vec{A H} = (a - 3; - 5; - 2)$ và $\vec{A H} ⊥ \vec{i}$ .

Ta có $\Leftrightarrow \vec{A H} . \vec{i} = 0 \Leftrightarrow a - 3 = 0 \Leftrightarrow a = 3$ .

Vậy H(3;0;0).

Câu 29:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x^{2}} (x^{3} - 4 x)$ . Hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A.1

B. 4

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: D

Ta có $F^{'} (x) = f (x) = e^{x^{2}};$ $F^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow e^{x^{2}} (x^{3} - 4 x) = 0$ $\Leftrightarrow x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$ .

Suy ra hàm số F(x) có 3 điểm cực trị.

Câu 30:

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

A. $y = x^{3} + x$

B. $y = - x^{3} - 3 x$

C. $y = \frac{x + 1}{x + 3}$

D. $y = \frac{x - 1}{x - 2}$

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số $y = x^{3} + x$ có $y^{'} = 3 x^{2} + 1 > 0$ , $\forall x \in ℝ$

Vậy $y = x^{3} + x$ luôn đồng biến trên $ℝ$ .

Câu 31:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{5} x . e^{2 x} d x$ . Tìm mệnh đề đúng.

A. $I = \frac{1}{2} x e^{2 x}| \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} - \frac{1}{2} \int_{1}^{5} e^{2 x} d x$

B. $I = \frac{1}{2} x e^{2 x}| \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} - \int_{1}^{5} e^{2 x} d x$

C. $I = x e^{2 x}| \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} - \int_{1}^{5} e^{2 x} d x$

D. $I = \frac{1}{2} x e^{x}| \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} - \frac{1}{2} \int_{1}^{5} e^{x} d x$

Đáp án đúng là: A

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = e^{2 x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \frac{1}{2} e^{2 x} \end{cases} \Rightarrow I = \frac{1}{2} x e^{2 x}| \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} - \frac{1}{2} \int_{1}^{5} e^{2 x} d x$ .

Câu 32:

Có hai hộp bút chì màu, các bút chì khác nhau. Hộp thứ nhất có 5 bút chì màu đỏ và 7 bút chì màu xanh. Hộp thứ hai có 8 bút chì màu đỏ và 4 bút chì màu xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì. Xác suất để chọn một cây bút chì màu đỏ và một bút chì màu xanh là

A. $\frac{17}{36}$

B. $\frac{7}{12}$

C. $\frac{19}{36}$

D. $\frac{5}{12}$

Đáp án đúng là: C

Ta có $n (Ω) = C_{12}^{1} \cdot C_{12}^{1} = 144$ .

Gọi A là biến cố chọn được một cây bút chì màu đỏ và một bút chì màu xanh.

Trường hợp 1: Chọn 1 cây bút chì màu đỏ ở hộp thứ nhất và 1 cây bút chì màu xanh từ hộp thứ hai có $C_{5}^{1} C_{4}^{1} = 20$ (cách chọn).

Trường hợp 2: Chọn 1 cây bút chì màu đỏ ở hộp thứ hai và 1 cây bút chì màu xanh từ hộp thứ nhất có $C_{7}^{1} C_{8}^{1} = 56$ (cách chọn).

Khi đó $n (A) = C_{5}^{1} C_{4}^{1} + C_{7}^{1} C_{8}^{1} = 76$ $\Rightarrow P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{76}{144} = \frac{19}{36}$ .

Câu 33:

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (m^{2} - 4) x + 3$ đạt cực đại tại x = 3.

A. $m = 1$

B. $m = - 1$

C. $m = 1; m = 5$

D. $m = 5$

Đáp án đúng là: A

Ta có $y^{'} = x^{2} - 2 m x + (m^{2} - 4)$ ; ${y^{'}}^{'} = 2 x - 2 m$ .

Để hàm số đạt cực đại tại x = 3 thì

$\{\begin{matrix} y^{'} (3) = 0 \\ {y^{'}}^{'} (3) < 0 \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3^{2} - 2 m .3 + (m^{2} - 4) = 0 \\ 2.3 - 2 m < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m^{2} - 6 m + 5 = 0 \\ m < 3 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} [\begin{matrix} m = 1 \\ m = 5 \end{matrix} \\ m < 3 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 1$ .

Câu 34:

Cho hàm số $f (x) = \log_{3} (x^{2} + 1)$ . Tính $f^{'} (- 1)$ .

A. Không tồn tại $f^{'} (- 1)$

B. $f^{'} (- 1) = \frac{1}{2 \ln 3}$

C. $f^{'} (- 1) = \frac{1}{\ln 3}$

D. $f^{'} (- 1) = - 1 \cdot x$

Đáp án đúng là: C

Ta có $f^{'} (x) = {[\log_{3} (x^{2} + 1)]}^{'} = \frac{{(x^{2} + 1)}^{'}}{(x^{2} + 1) \ln 3} = \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \ln 3}$

Suy ra

f^{'} (- 1) = \frac{- 2}{[{(- 1)}^{2} + 1] \ln 3} = - \frac{1}{\ln 3}

Câu 35:

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x + m}{x + 1}$ trên đoạn [1;2] bằng 8 (m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $8 < m < 10$

B. $0 < m < 4$

C. $4 < m < 8$

D. $m > 10$

Đáp án đúng là: A.

Tập xác định của hàm số $D = ℝ \ \{- 1\}$ .

Ta có $y^{'} = \frac{1 - m}{{(x + 1)}^{2}}$ ; $f (1) = \frac{1 + m}{2}; f (2) = \frac{2 + m}{3}$

$\Rightarrow \min_{[1; 2]} f (x) = \min \{f (1); f (2)\}$ và $max_{[1; 2]} f (x) = m ax \{f (1); f (2)\}$

$\Rightarrow max_{[1; 2]} f (x) + min_{[1; 2]} f (x) = \frac{2 + m}{3} + \frac{1 + m}{2}$ .

Mà theo đề bài có $max_{[1; 2]} f (x) + min_{[1; 2]} f (x) = 8$ .

$\Rightarrow \frac{2 + m}{3} + \frac{1 + m}{2} = 8 \Leftrightarrow m = \frac{41}{5} = 8,2$

Vậy $m \in (8; 10)$ .

Câu 36:

Trong không gian cho hai điểm A(1;-1;2) và B(3;3;0). Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình là

A. $x + y - z - 2 = 0$

B. $x + y - z + 2 = 0$

C. $x + 2 y - z - 3 = 0$

D. $x + 2 y - z + 3 = 0$

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm AB suy ra I (2;1;1).

Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua I (2;1;1) và nhận $\vec{A B} = (2; 4; - 2) = 2 (1; 2; - 1)$ là vectơ pháp tuyến là: $1 \cdot (x - 2) + 2 \cdot (y - 1) - 1 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y - z - 3 = 0$ .

Câu 37:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, O là tâm đáy. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là trung điểm H của OA, biết $\hat{(S D, (A B C D))} = 60 °$ . Gọi $α$ là góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD). Tìm mệnh đề đúng.

A. $\tan α \in (0; 1)$

B. $\tan α \in (3; 4)$

C. $\tan α \in (2; 3)$

D. $\tan α \in (1; 2)$

Đáp án đúng là: D

Gọi $I \in C D$ sao cho $H I // A D$ .

Ta có: $\frac{H I}{A D} = \frac{C H}{C A} = \frac{3}{4} \Rightarrow H I = \frac{3}{4} A D = \frac{3 a}{2}$ ;

$H D = \sqrt{D O^{2} + H O^{2}} = \sqrt{D O^{2} + \frac{D O^{2}}{4}} = \frac{D O \sqrt{5}}{2}$ .

Mà $D O = \frac{D B}{2} = \frac{\sqrt{A B^{2} + A D^{2}}}{2} = \frac{2 \sqrt{2} a}{2} = a \sqrt{2}$ .

Suy ra $H D = \frac{a \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{a \sqrt{10}}{2}$ $\Rightarrow S H = H D . \tan 60 ° = \frac{\sqrt{30} a}{2}$ .

Vì $H I // A D$ mà $A D ⊥ C D$ nên $H I ⊥ C D$ .

Hơn nữa $S H ⊥ C D$ (do $S H ⊥ (A B C D)$ ) nên ta có $C D ⊥ (S H I)$ .

Suy ra $C D ⊥ S I$ .

Từ đó dễ dàng thấy được góc giữa $m p (S C D)$ và $m p (A B C D)$ là $\hat{S I H}$ .

Do đó $\tan α = \tan \hat{S I H} = \frac{S H}{H I} = \frac{\sqrt{30}}{3} \in (1; 2)$ .

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với

A C = 2 a, B D = 2 a \sqrt{2}

. Gọi H là trọng tâm tam giác ABD, biết rằng các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng

A. $\frac{4 a \sqrt{19}}{38}$

B. $\frac{a \sqrt{38}}{19}$

C. $\frac{4 a \sqrt{38}}{19}$

D. $\frac{a \sqrt{19}}{38}$

Đáp án đúng là: C

Các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên $S H ⊥ (A B C D)$ .

Kẻ $C K ⊥ H D$ nên $S H ⊥ C K$ (do $S H ⊥ (A B C D)$ ).

$\Rightarrow C K ⊥ (S H D) \Rightarrow d (C, (S H D)) = C K$ .

Ta có: $H O = \frac{1}{3} A O = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} A C = \frac{a}{3}; D O = \frac{1}{2} B D = a \sqrt{2}$ .

Kẻ $O I ⊥ H D \Rightarrow O I // C K$ (do cùng vuông góc với HD).

Áp dụng hệ thức lượng trong $Δ O H D$ có:

$\frac{1}{O I^{2}} = \frac{1}{O H^{2}} + \frac{1}{O D^{2}} \Rightarrow O I = \frac{H O \cdot O D}{\sqrt{H O^{2} + O D^{2}}} = \frac{a \sqrt{38}}{19}$

Áp dụng định lí Thalès trong $Δ H C K$ có

$\frac{O I}{C K} = \frac{H O}{O C} = \frac{1}{4} \Rightarrow C K = 4 O I = \frac{4 a \sqrt{38}}{19}$

Câu 39:

Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên $(0; + \infty), y = f (x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $(0; + \infty)$ thỏa mãn $f (3) = \frac{4}{9}$ và ${[f^{'} (x)]}^{2} = (x + 1) \cdot f (x)$ . Tính f(8) .

A. $f (8) = \frac{1}{16}$

B. $f (8) = 64$

C. $f (8) = 49$

D. $f (8) = 256$

Đáp án đúng là: C

Ta có ${[f^{'} (x)]}^{2} = (x + 1) . f (x) \Rightarrow \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{f (x)}} = \sqrt{x + 1}$ .

Suy ra $\int_{3}^{8} \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{f (x)}} d x = \int_{3}^{8} \sqrt{x + 1} d x$ .

$\Rightarrow {2 \sqrt{f (x)}|}_{3}^{8} = \frac{38}{3} \Leftrightarrow \sqrt{f (8)} - \sqrt{f (3)} = \frac{19}{3} \Leftrightarrow \sqrt{f (8)} - \sqrt{\frac{4}{9}} = 7 \Leftrightarrow f (8) = 49$

Câu 40:

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn ${(\frac{10}{9})}^{2 x^{2} - 5 x y} \leq {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{x y + 5 y^{2}}$ .

Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{x}{y}$ bằng

A. $\frac{5}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\frac{5}{4}$

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${(\frac{10}{9})}^{2 x^{2} - 5 x y} \leq {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{x y + 5 y^{2}} \Leftrightarrow {(\frac{10}{9})}^{2 x^{2} - 5 x y} \leq {(\frac{10}{9})}^{\frac{- (x y + 5 y^{2})}{2}}$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 5 x y \leq \frac{- (x y + 5 y^{2})}{2} \Leftrightarrow 4 x^{2} - 9 x y + 5 y^{2} \leq 0$

$\Leftrightarrow (4 x - 5 y) (x - y) \leq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} 4 x - 5 y \leq 0 \\ x - y \geq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} 4 x - 5 y \geq 0 \\ x - y \leq 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x}{y} \leq \frac{5}{4} \\ \frac{x}{y} \geq 1 \end{cases}$

Vậy $\min \frac{x}{y} = 1; \max \frac{x}{y} = \frac{5}{4}$

Vậy $\max \frac{x}{y} - \min \frac{x}{y} = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4}$ .

Câu 41:

Cho hàm số trùng phương $y = {ax}^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi đồ thị hàm số $y = \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} + 2 x)}{{[f (x)]}^{2} + 2 f (x) - 3}$ có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 2

Đáp án đúng là: B

$y = \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} + 2 x)}{{[f (x)]}^{2} + 2 f (x) - 3} = \frac{x (x - 2) {(x + 2)}^{2}}{{[f (x)]}^{2} + 2 f (x) - 3}$

Xét ${[f (x)]}^{2} + 2 f (x) - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 1 \\ f (x) = - 3. \end{array}$

Với $f (x) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = x_{1} < - 2 \\ x = x_{1} > 2 \end{array}$ suy ra có 3 tiệm cận đứng

Với $f (x) = - 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 (l) \\ x = 2 \end{array}$ suy ra có 1 tiệm cận đứng.

Vậy tổng cộng có 4 đường tiệm cận đứng.

Câu 42:

Có bao nhiêu số nguyên dương m nhỏ hơn 20 thỏa mãn phương trình $\log (m x + \log m^{m}) = 10^{x}$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

A. 11

B. 13

C. 12

D. 10

Đáp án đúng là: B

Với số nguyên dương m nhỏ hơn 20 ta có:

$\log (m x + \log m^{m}) = 10^{x} \Leftrightarrow m x + m \log m = 10^{10^{x}}$

$\Leftrightarrow 10^{x} (m x + m \log m) = 10^{x} {.10}^{10^{x}} \Leftrightarrow (m {.10}^{x}) . \log (m {.10}^{x}) = 10^{x} {.10}^{10^{x}} (1)$

Đặt $10^{x} = a; l o g (m {.10}^{x}) = b$ có: $a {.10}^{a} = b {.10}^{b} \Rightarrow a = b \Rightarrow 10^{x} = \log (m {.10}^{x}) = \log m + x .$

$\Rightarrow \log m = 10^{x} - x$

Đặt $g (x) = 10^{x} - x$ có: $g^{'} (x) = 10^{x} . \ln 10 - 1$ .

Ta có: $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = - \log (\ln 10)$ ; $g [- \log (\ln 10)] = 10^{- \log (\ln 10)} + \log (\ln 10) = {(\ln 10)}^{- 1} + \log (\ln 10) .$

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm .

$\Leftrightarrow \log m > g [- \log (\ln 10)] \Leftrightarrow \log m > {(\ln 10)}^{- 1} + \log (\ln 10)$

$\Leftrightarrow m > 10^{{(\ln 10)}^{- 1} + \log (\ln 10)} \approx 6,72$

Suy ra $m \in \{7; 8; ...; 19\}$ .

Vậy có 13 số.

Câu 43:

Cho tứ diện ABCD có $S_{Δ A B C} = 4 {cm}^{2}, S_{Δ A B D} = 6 {cm}^{2}, A B = 3 cm$ . Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) bằng $60 °$ . Thể tích của tứ diện đã cho bằng

A. $2 \sqrt{3} {cm}^{3}$

B. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}$

C. $\frac{4 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}$

D. $\frac{8 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}$

Đáp án đúng là: D

Gọi H là chân đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh C.

Trong (ABC), kẻ $C K ⊥ A B$ ( $K \in A B$ ).

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) bằng $\hat{C K H} = 60 °$ và h = CH.

Ta có: $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B \cdot C K \Rightarrow C K = \frac{2 S_{Δ A B C}}{A B} = \frac{8}{3}$ .

Lại có: $C H = C K \cdot sin \hat{C K H} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Vậy $V_{A B C D} = \frac{1}{3} S_{Δ A B D} . C H = \frac{8 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}$ .

Câu 44:

Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt (SAB) bằng $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ và $\hat{S A O} = 30 °, \hat{S A B} = 60 °$ . Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng

A. $2 a \sqrt{3}$

B. $a \sqrt{5}$

C. $a \sqrt{2}$

D. $a \sqrt{3}$

Đáp án đúng là: C

Kẻ $O H ⊥ A B \Rightarrow A H = H B$ .

Kẻ $O K ⊥ S H$ (1)

Dễ dàng có được $\{\begin{cases} S O ⊥ A B \\ S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S H O) \Rightarrow A B ⊥ O K$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $O K ⊥ (S A B)$ .

$\Rightarrow d (O; (S A B)) = O K = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Ta có, tam giác đều nên $S H = S A \frac{\sqrt{3}}{2}$ và lại có $S O = S A . sin \hat{S A O} = \frac{S A}{2}$ .

Suy ra $O H = \sqrt{S H^{2} - S O^{2}} = S A \sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{S A}{\sqrt{2}}$ .

Xét tam giác SOH vuông tại O có:

$\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O H^{2}} \Rightarrow \frac{4}{S A^{2}} + \frac{2}{S A^{2}} = \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} \Rightarrow S A = a \sqrt{2} \Rightarrow l = a \sqrt{2}$

Vậy độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng $a \sqrt{2}$ .

Câu 45:

Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị như hình sau:

Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình $f [g (x)] = 0$ và $g [f (x)] = 0$ là

A. 26

B. 25

C. 22

D. 21

Đáp án đúng là: C.

Ta có $f (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = a_{1} \\ x = a_{2} \\ x = a_{3} \\ x = a_{4} \\ x = a_{5} \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} (- 3 < a_{1} < - 2) \\ (- 2 < a_{2} < - 1) \\ (1 < a_{3} < 2) \\ (2 < a_{4} < 3) \\ (4 < a_{5} < 5) \end{matrix}$ và $g (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = a_{6} \\ x = a_{7} \\ x = 3 \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} (- 2 < a_{6} < - 1) \\ (0 < a_{7} < 1) \end{matrix}$ .

Khi đó $f [g (x)] = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} g (x) = a_{1} \\ g (x) = a_{2} \\ g (x) = a_{3} \\ g (x) = a_{4} \\ g (x) = a_{5} \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} (- 3 < a_{1} < - 2) \\ (- 2 < a_{2} < - 1) \\ (1 < a_{3} < 2) \\ (2 < a_{4} < 3) \\ (4 < a_{5} < 5) \end{matrix}$ .

Số nghiệm của phương trình $g (x) = a_{1}$ chính là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y = g (x)$ với $a_{1} \in (- 3; - 2)$ .

Suy ra: phương trình $g (x) = a_{1}$ ; $g (x) = a_{2}$ ; $g (x) = a_{3}$ ; $g (x) = a_{4}$ ; $g (x) = a_{5}$ có số nghiệm lần lượt là 1;3;3;3;1.

Vậy $f [g (x)] = 0$ có tất cả 11 nghiệm.

Tương tự, $g [f (x)] = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} f (x) = a_{6} \\ f (x) = a_{7} \\ f (x) = 3 \end{matrix}$ , phương trình này có 11 nghiệm.

Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình $f [g (x)] = 0$ và $g [f (x)] = 0$ là 22.

Câu 46:

Cho hàm số y = f(x) có

f^{'} (x) = x (x + 1) (x^{2} - 2 m x + 1), \forall x \in ℝ

với m là tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m không vượt quáq 2023 cho hàm số

g (x) = f (x^{2} - 1)

có 7 điểm cực trị?

A. 2021

B. 2022

C. 2020

D. 2023

Đáp án đúng là: A.

$g (x) = f (x^{2} - 1) \Rightarrow g^{'} (x) = 2 x \cdot f^{'} (x^{2} - 1) = 2 x (x^{2} - 1) x^{2} [{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 m (x^{2} - 1) + 1]$

Ta có $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} = 0 \\ {(x^{2} - 1)}^{2} - 2 m (x^{2} - 1) + 1 = 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ {(x^{2} - 1)}^{2} - 2 m (x^{2} - 1) + 1 = 0 \end{array}$ .

Để hàm số $g (x) = f (x^{2} - 1)$ có 7 điểm cực trị thì phương trình ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 m (x^{2} - 1) + 1 = 0$ phải có 4 đơn nghiệm phân biệt khác x = 0 , $x = \pm 1$ .

Xét phương trình ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 m (x^{2} - 1) + 1 = 0$

Đặt $t = x^{2} - 1$ , khi đó ta được phương trình $t^{2} - 2 m t + 1 = 0$ với $t \geq - 1$ .

Với $t > - 1$ ta có hai nghiệm x ,

Với t = -1 ta có nghiệm x = 0 ,

Với t < -1 phương trình vô nghiệm.

Nên để ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 m (x^{2} - 1) + 1 = 0$ có 4 đơn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $t^{2} - 2 m t + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $0 \neq t > - 1$ .

Ta có $t^{2} - 2 m t + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 m = t + \frac{1}{t}$ .

Xét hàm số $h (t) = t + \frac{1}{t}$ , ta có $h^{'} (t) = 1 - \frac{1}{t^{2}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, phương trình $t^{2} - 2 m t + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $0 \neq t > - 1$ khi m > 2 .

Câu 47:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $[\frac{1}{3}; 3]$ thỏa mãn $f (x) + x \cdot f (\frac{1}{x}) = x^{3} - x$ . Giá trị tích phân $I = \int_{\frac{1}{3}}^{3} \frac{f (x)}{x^{2} + x} d x$ bằng

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{16}{9}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{8}{9}$

Đáp án đúng là: D.

Ta có $f (x) + x \cdot f (\frac{1}{x}) = x^{3} - x \Leftrightarrow \frac{f (x)}{x^{2} + x} + \frac{1}{x + 1} \cdot f (\frac{1}{x}) = x - 1$ .

Suy ra $\int_{\frac{1}{3}}^{3} \frac{f (x)}{x^{2} + x} d x + \int_{\frac{1}{3}}^{3} \frac{1}{x + 1} \cdot f (\frac{1}{x}) d x = \int_{\frac{1}{3}}^{3} (x - 1) d x = \frac{16}{9} (*)$

Đặt $t = \frac{1}{x}$ suy ra $d x = - \frac{1}{t^{2}} d t$ và $x = \frac{1}{t} \Leftrightarrow \frac{1}{x + 1} = \frac{t}{t + 1}$ .

Đổi cận $\{\begin{cases} x = \frac{1}{3} \Rightarrow t = 3 \\ x = 3 \Rightarrow t = \frac{1}{3} \end{cases}$ .

Khi đó $\int_{\frac{1}{3}}^{3} \frac{1}{x + 1} \cdot f (\frac{1}{x}) d x = - \int_{3}^{\frac{1}{3}} \frac{t}{t + 1} \cdot f (t) \cdot \frac{1}{t^{2}} d t = \int_{\frac{1}{3}}^{3} \frac{f (t)}{t^{2} + t} d t = I$ .

Do đó $(*) \Leftrightarrow 2 I = \frac{16}{9} \Leftrightarrow I = \frac{8}{9}$ .

Câu 48:

Cho hàm số $f (x) = 2 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a, b, c, d \in ℝ)$ có ba điểm cực trị là -1, 1 và 3. Gọi y = g(x) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) bằng

A. $\frac{182}{15}$

B. $\frac{265}{15}$

C. $\frac{128}{15}$

D. $\frac{256}{15}$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $f^{'} (x) = 8 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$ .

Vì hàm số có ba điểm cực trị là -1, 1 và 3 nên ta có:

$\{\begin{cases} f^{'} (- 1) = 0 \\ f^{'} (1) = 0 \\ f^{'} (3) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a - 2 b + c = 8 \\ 3 a + 2 b + c = - 8 \\ 27 a + 6 b + c = - 216 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 8 \\ b = - 4 \\ c = 24. \end{cases}$

Suy ra $f (x) = 2 x^{4} - 8 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x + d$ .(1)

Đặt $g (x) = m x^{2} + n x + p (m \neq 0)$ .

Vì g(x) đi qua 3 điểm cực trị nên ta có:

$\{\begin{cases} m {(- 1)}^{2} + n (- 1) + p = 2 {(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} - 4 {(- 1)}^{2} + 24 (- 1) + d \\ m \cdot 1^{2} + n \cdot 1 + p = 2 \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 + d \\ m \cdot 3^{2} + n \cdot 3 + p = 2 \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 + d \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m - n + (p - d) = - 18 \\ m + n + (p - d) = 14 \\ 9 m + 3 n + (p - d) = - 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 8 \\ n = 16 \\ p - d = 6 \end{cases}$

Suy ra $f (x) - g (x) = 2 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x - 6$

$\Rightarrow f (x) - g (x) = 0 \Leftrightarrow 2 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) bằng

$\int_{- 1}^{3} |f (x) - g (x)| d x = \int_{- 1}^{3} |2 (x + 1) {(x - 1)}^{2} (x - 3)| d x = \frac{256}{15}$

Câu 49:

Trong các nghiệm (x;y) thỏa mãn bất phương trình $\log_{x^{2} + 2 y^{2}} (2 x + y) \geq 1$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2x + y bằng

A. 9

B. $\frac{9}{4}$

C. $\frac{9}{2}$

D. $\frac{9}{8}$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\log_{x^{2} + 2 y^{2}} (2 x + y) \geq 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x^{2} + 2 y^{2} > 1 \\ 2 x + y \geq x^{2} + 2 y^{2} \end{cases} (1) \\ \{\begin{cases} 0 < x^{2} + 2 y^{2} < 1 \\ 2 x + y \leq x^{2} + 2 y^{2} \end{cases} (2) \end{array}$

· Trường hợp 1: $\{\begin{cases} x^{2} + 2 y^{2} > 1 \\ 2 x + y \geq x^{2} + 2 y^{2} \end{cases}$ .

Ta có: $x^{2} + 2 y^{2} \leq 2 x + y \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(\sqrt{2} y - \frac{1}{2 \sqrt{2}})}^{2} \leq \frac{9}{8}$ ;

$2 x + y = 2 (x - 1) + \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} y - \frac{1}{2 \sqrt{2}}) + \frac{9}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

$2 (x - 1) + \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} y - \frac{1}{2 \sqrt{2}}) \leq \sqrt{[2^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}] [{(x - 1)}^{2} + {(\sqrt{2} y - \frac{1}{2 \sqrt{2}})}^{2}]} \leq \frac{9}{4}$

Suy ra $T = 2 x + y \leq \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$ .

· Trường hợp 2: $\{\begin{cases} 0 < x^{2} + 2 y^{2} < 1 \\ 2 x + y \leq x^{2} + 2 y^{2} \end{cases}$ $\Rightarrow 0 < T = 2 x + y \leq x^{2} + 2 y^{2} < 1$

Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \frac{9}{2}$ .

Câu 50:

Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{3} - 3 x + 2 m - 1|$ trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?

A. $(0; 1)$

B. $(\frac{2}{3}; 2)$

C. $[- 1; 0]$

D. $(- \frac{3}{2}; - 1)$

Đáp án đúng là: A

Đặt $f (x) = x^{3} - 3 x + 2 m - 1 \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ . Nên: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in (0; 2) \\ x = - 1 \notin (0; 2) \end{array}$ .

Ta có: $f (1) = 2 m - 3 < f (0) = 2 m - 1 < f (2) = 2 m + 1$

$\Rightarrow \underset{[0; 2]}{\max |f (x)|} = \max \{|2 m + 1|, |2 m - 3|\}$

· Trường hợp 1: $\underset{[0; 2]}{\max |f (x)|} = |2 m + 1|$ thì

$|2 m + 1| \geq |2 m - 3| \Leftrightarrow {(2 m + 1)}^{2} \geq {(2 m - 3)}^{2} \Leftrightarrow 16 m \geq 8 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2} .$

Với $m \geq \frac{1}{2} \Rightarrow |2 m + 1| \geq 2$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi $m = \frac{1}{2} .$

· Trường hợp 2: $\underset{[0; 2]}{\max |f (x)|} = |2 m - 3|$ thì

$|2 m - 3| \geq |2 m + 1| \Leftrightarrow {(2 m - 3)}^{2} \geq {(2 m + 1)}^{2} \Leftrightarrow 16 m \leq 8 \Leftrightarrow m \leq \frac{1}{2} .$

Với $m \leq \frac{1}{2} \Rightarrow |2 m - 3| \geq 2$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi $m = \frac{1}{2} .$

Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi $m = \frac{1}{2} \in (0; 1)$ .

Câu 51:

Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{3} - 3 x + 2 m - 1|$ trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?

A. $(0; 1)$

B. $(\frac{2}{3}; 2)$

C. $[- 1; 0]$

D. $(- \frac{3}{2}; - 1)$

Đáp án đúng là: A

Đặt $f (x) = x^{3} - 3 x + 2 m - 1 \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ . Nên: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in (0; 2) \\ x = - 1 \notin (0; 2) \end{array}$ .

Ta có: $f (1) = 2 m - 3 < f (0) = 2 m - 1 < f (2) = 2 m + 1$

$\Rightarrow \underset{[0; 2]}{\max |f (x)|} = \max \{|2 m + 1|, |2 m - 3|\}$

· Trường hợp 1: $\underset{[0; 2]}{\max |f (x)|} = |2 m + 1|$ thì

$|2 m + 1| \geq |2 m - 3| \Leftrightarrow {(2 m + 1)}^{2} \geq {(2 m - 3)}^{2} \Leftrightarrow 16 m \geq 8 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2} .$

Với $m \geq \frac{1}{2} \Rightarrow |2 m + 1| \geq 2$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi $m = \frac{1}{2} .$

· Trường hợp 2: $\underset{[0; 2]}{\max |f (x)|} = |2 m - 3|$ thì

$|2 m - 3| \geq |2 m + 1| \Leftrightarrow {(2 m - 3)}^{2} \geq {(2 m + 1)}^{2} \Leftrightarrow 16 m \leq 8 \Leftrightarrow m \leq \frac{1}{2} .$

Với $m \leq \frac{1}{2} \Rightarrow |2 m - 3| \geq 2$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi $m = \frac{1}{2} .$

Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi $m = \frac{1}{2} \in (0; 1)$ .

Bắt đầu thi ngay